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$(3,0)或(4,0)$
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解：​$(1) $​∵二次函数​$y=x^2+2(a + 1)x + 3a^2-2a + 3$​中，二次项系数​$1＞0，$​
∴二次函数的图像开口向上。
∵二次函数的图像与直线​$y = 2a^2$​有两个交点，
∴函数的最小值小于​$2a^2，$​即​$\frac {4×1×(3a^2-2a + 3)-[2(a + 1)]^2}{4×1}＜2a^2，$​
化简，得​$2a^2-4a + 2＜2a^2，$​解得​$a＞\frac {1}{2}。$​
​$(2) $​∵二次函数的图像与​$x$​轴有交点，
∴方程​$x^2+2(a + 1)x + 3a^2-2a + 3 = 0$​有实数根。
∴​$[2(a + 1)]^2-4×1×(3a^2-2a + 3)=-8a^2+16a - 8=-8(a - 1)^2\geqslant 0。$​
∴​$8(a - 1)^2\leqslant 0，$​
∵​$8(a - 1)^2\geqslant 0，$​
∴​$8(a - 1)^2=0，$​解得​$a = 1。$​
​$(3) $​当​$x = 0$​时，​$y = 3a^2-2a + 3 = 3(a-\frac {1}{3})^2+\frac {8}{3}＞0，$​
∴二次函数的图像不经过原点。
解： （1）在直线$y = -\frac{3}{2}x + 3$中，令$x = 0，$则$y = 3，$
所以点$D$的坐标为$(0,3)。$
因为抛物线$y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + k$经过点$D，$
所以将$D(0,3)$代入抛物线表达式得$3 = -\frac{1}{4}(0 - 2)^2 + k，$
即$3 = -\frac{1}{4}×4 + k，$解得$k = 4，$
所以抛物线对应的函数表达式为$y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4。$
（2）连接$OP。$
在直线$y = -\frac{3}{2}x + 3$中，令$y = 0，$则$-\frac{3}{2}x + 3 = 0，$解得$x = 2，$
所以点$C$的坐标为$(2,0)，$即$OC = 2。$
在抛物线$y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4$中，令$y = 0，$则$-\frac{1}{4}(x - 2)^2 + 4 = 0，$<br>
解得$x = 6$或$x = -2，$
因为点$A$在点$B$左侧，
所以点$A$的坐标为$(-2,0)，$即$OA = 2。$
由抛物线表达式可知顶点$P$的坐标为$(2,4)。$
四边形$ACPD$的面积$S = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle POD} + S_{\triangle POC}，$
其中$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}×OA×OD = \frac{1}{2}×2×3 = 3，$$S_{\triangle POD} = \frac{1}{2}×OD×|x_P| = \frac{1}{2}×3×2 = 3，$$S_{\triangle POC} = \frac{1}{2}×OC×y_P = \frac{1}{2}×2×4 = 4，$
所以$S = 3 + 3 + 4 = 10$
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