解：$(1) $把$ B(0，-4) $代入$ y = a(x+\frac {5}{2})(x - 4)(a\neq 0) ，$得
$\frac {5}{2}×(-4)a=-4 ，$解得$ a=\frac {2}{5} ，$
∴$y=\frac {2}{5}(x+\frac {5}{2})(x - 4)=\frac {2}{5}x^2-\frac {3}{5}x - 4 $
$(2) $在$ y=\frac {2}{5}(x+\frac {5}{2})(x - 4) $中，令$ y = 0 ，$得$x_{1}=-\frac {5}{2} ，$$ x_{2}=4 ，$
∴$A(4，0) 。$
∵$M $是$ OA $的中点，
∴$M(2，0) ，$
∴$OM = 2 。$
由$ A、$$B $两点的坐标，得$ y_{AB}=x - 4 。$
∵$DM\perp OA ，$
∴$C(2，-2) ，$$ D(2，-\frac {18}{5}) 。$
∴$CD=y_{C}-y_{D}=-2-(-\frac {18}{5})=\frac {8}{5} 。$
∴$S_{\triangle BCD}=\frac {1}{2}CD· OM=\frac {1}{2}×\frac {8}{5}×2=\frac {8}{5} $
$(3) $点$ F $在抛物线上$ $
理由：如图，按题意画出线段$ OF ，$连接$ BF ，$过点$ F_{作} FQ\perp OB $于点$ Q 。$
∵$A(4，0) ，$$ B(0，-4) ，$
∴$OA = OB = 4 。$
∴$∠OAB=∠OBA = 45° 。$
∵$OF $由线段$ OE $绕点$ O $顺时针旋转$ 90° $得到，
∴$OE = OF ，$$ ∠EOF=∠BOA = 90° 。$
∴$∠AOE=∠BOF 。$
∴$\triangle AOE\cong \triangle BOF(\mathrm {SAS}) 。$
∴$∠OBF=∠OAE = 45° ，$$BF = AE=\sqrt {2} 。$
∵$FQ\perp OB ，$
∴$FQ = BQ ，$$ FQ^2+BQ^2=(\sqrt {2})^2 。$
∴$FQ = BQ = 1 。$
∴$OQ = OB - BQ = 3 。$
∴$F(-1，-3) 。$
∵$ $在$y=\frac {2}{5}x^2-\frac {3}{5}x - 4 $中，令$ x=-1 ，$得$ y=\frac {2}{5}+\frac {3}{5}-4=-3 ，$
∴$ $点$ F $在抛物线上。
