第16页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

解：$(1)①a＞0；$$②c＜0；$$③-\frac b{2a}＞0$

$(2)y=ax^2+bx+c+2$的图像由原函数图像

向上平移$2$个单位长度得到

与$x$轴有且只有$1$个交点

∴方程$ax^2+bx+c+2=0$有两个相等实数根

$解：根据题意得y=(x-30)(162-3x)$

$=-3x^2+252x-4860$

$=-3(x-42)^2+432$

$∴当x=42时，利润y最大$

【解析】
(1) 从图像中可读取以下信息：
① 抛物线开口向上，故 $a ＞ 0$；
② 抛物线与$y$轴交于负半轴，故 $c ＜ 0$；
③ 对称轴在$y$轴右侧，即 $-\frac{b}{2a} ＞ 0$（答案不唯一，合理即可）。
(2) 函数$y=ax^2+bx+c+2$的图像由原二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像向上平移2个单位长度得到，原函数的顶点纵坐标为$-2$，平移后图像与$x$轴有且只有1个交点，因此方程$ax^2 + bx + c + 2 = 0$有两个相等的实数根。
【答案】
(1) ① $a ＞ 0$；② $c ＜ 0$；③ $-\frac{b}{2a} ＞ 0$（答案不唯一）
(2) 方程$ax^2 + bx + c + 2 = 0$有两个相等的实数根
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数平移变换
【点评】
本题主要考查二次函数的图像与性质，需熟练掌握从二次函数图像获取系数相关信息的方法，以及利用函数平移结合图像判断一元二次方程根的情况，体现了数形结合的数学思想。

【解析】
根据日销售利润=每台商品的利润×日销售量，可列出利润函数表达式：
$y=(x-30)(162-3x)$
展开并整理得：
$y=-3x^2+252x-4860$
对二次函数进行配方：
$y=-3(x-42)^2+432$
由于二次项系数$-3＜0$，该二次函数图象开口向下，因此当$x=42$时，日销售利润$y$最大。
【答案】
当$x=42$时，利润$y$最大。
【知识点】
二次函数的最值、利润问题
【点评】
本题以商品销售为背景，考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立函数模型，利用配方法求二次函数的最值，培养数学建模与解决实际问题的能力。