第20页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：(1)(-4m)^2-4×2\ \mathrm {m^2}=8\ \mathrm {m^2}$

$∵m≠0$

$∴8\ \mathrm {m^2}＞0$

$∴这个二次函数的图像与x轴有两个公共点$

$(2)将(m+1，m)代入函数得2(m+1)^2-4m(m+1)+\mathrm {m^2}=m$

$解得m=-2或m=1$

$∴二次函数的表达式为y=2x^2+8x+4或y=2x^2-4x+1$

$解：(1)设s=at(t-4)$

$将(2，-2)代入得a=\frac 12$

$∴函数表达式为s=\frac 12t(t-4)，即s=\frac 12t^2-2t$

$(2)由30=\frac 12t^2-2t$

$解得t_{1}=10，t_{2}=-6(舍去)$

$∴截至10月末公司累计利润可达30万元$

$(3)当t=7时，s=10.5；当t=8时，s=16$

$16-10.5=5.5(万元)$

$∴第8个月公司所获利润是5.5万元$

【解析】
(1) 对于二次函数$y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 }$，计算其判别式：$\Delta=(-4m)^2-4×2×m^2=8m^2$。
因为$m≠0$，所以$8m^2＞0$，即$\Delta＞0$，根据二次函数与x轴交点的判定规则，当$\Delta＞0$时，二次函数的图像与x轴有两个公共点。
(2) 将点$(m+1, m)$代入二次函数$y = 2 x ^ { 2 } - 4 m x + m ^ { 2 }$中，得到方程：$2(m+1)^2-4m(m+1)+m^2=m$。
展开并整理方程后解得$m=-2$或$m=1$。
将$m=-2$代入原函数，得表达式$y=2x^2+8x+4$；将$m=1$代入原函数，得表达式$y=2x^2-4x+1$。
【答案】
(1) 该二次函数的图像与x轴有两个公共点；
(2) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=2x^2+8x+4}$或$\boldsymbol{y=2x^2-4x+1}$。
【知识点】
二次函数与x轴交点判别式、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数的核心性质与待定系数法的应用，第一问利用判别式判断交点个数需紧扣$m≠0$的条件；第二问代入点坐标求解参数时，要注意方程整理与求解的准确性，最终得到两个符合要求的函数表达式。

【解析】
(1) 由图像可知二次函数过原点$(0,0)$和$(4,0)$，故设累计利润$s$与时间$t$的函数表达式为$s=at(t-4)$。
将点$(2,-2)$代入表达式得：$-2=a×2×(2-4)$，解得$a=\frac{1}{2}$。
因此函数表达式为$s=\frac{1}{2}t(t-4)$，整理得$s=\frac{1}{2}t^2-2t$。
(2) 令$s=30$，代入函数表达式得$30=\frac{1}{2}t^2-2t$，
整理为一元二次方程：$t^2-4t-60=0$，
解得$t_1=10$，$t_2=-6$（时间不能为负，舍去），
故截至10月末公司累计利润可达30万元。
(3) 当$t=7$时，$s=\frac{1}{2}×7^2-2×7=10.5$；
当$t=8$时，$s=\frac{1}{2}×8^2-2×8=16$；
第8个月的利润为$16-10.5=5.5$（万元），
即第8个月公司所获利润是5.5万元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{s=\frac{1}{2}t^2-2t}$；
(2) $\boldsymbol{10}$月末；
(3) $\boldsymbol{5.5}$万元。
【知识点】
二次函数实际应用、解一元二次方程、函数值计算
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，需结合图像特征合理设出函数表达式，利用方程思想解决实际问题，关键是理解累计利润的含义，区分累计利润与单月利润的计算方法。