第55页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：由矩形OABC，PQ⊥BP$

$可得∠QPO=90°-∠BPA=∠PBA$

$∴△QOP∽△PAB$

$∴\frac {OQ}{OP}=\frac {PA}{AB}，即\frac {OQ}{OP}=\frac {a-OP}b$

$得OQ=-\frac {OP^2}b+\frac {a}bOP=-\frac 1{b}(OP-\frac a{2})^2+\frac {a^2}{4b}$

$∴当OP=\frac a{2}时，OQ长度最大，最大长度是\frac {a^2}{4b}$

$解：△AOD∽△FCD$

$延长AO交\odot O于点G，连接CG$

$则∠G=∠B$

$∵AG是直径$

$∴∠ACG=90°$

$∴∠GAC=90°-∠G$

$∵OE⊥AB$

$∴∠F=90°-∠B$

$∴∠GAC=∠F$

$又∠ODA=∠CDF$

$∴△AOD∽△FCD$

【解析】
∵四边形OABC是矩形，PQ⊥BP，
∴∠QOP=∠PAB=90°，∠QPO=90°-∠BPA=∠PBA，
∴△QOP∽△PAB，
∴$\frac{OQ}{OP}=\frac{PA}{AB}$，
设$OP=x$，则$PA=a-x$，$AB=b$，代入得：
$\frac{OQ}{x}=\frac{a-x}{b}$，
整理得$OQ=-\frac{1}{b}x^2+\frac{a}{b}x=-\frac{1}{b}(x-\frac{a}{2})^2+\frac{a^2}{4b}$，
∵$-\frac{1}{b}＜0$，
∴当$x=\frac{a}{2}$时，OQ取得最大值，最大值为$\frac{a^2}{4b}$，即当点P运动到OA的中点时，OQ长度最大。
【答案】
当点P运动到OA的中点（即$OP=\frac{a}{2}$）时，线段OQ的长度最大，最大长度是$\frac{a^2}{4b}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 二次函数的最值
3. 矩形的性质
【点评】
本题通过证明三角形相似建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最值，将几何问题转化为代数问题，体现了数形结合的数学思想，需熟练掌握相似三角形的判定及二次函数的性质。

【解析】
$△ AOD ∽ △ FCD$，理由如下：
延长$AO$交$\odot O$于点$G$，连接$CG$。
1. 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ G = ∠ B$；
2. 因为$AG$是$\odot O$的直径，所以$∠ ACG = 90°$（直径所对的圆周角是直角），则$∠ GAC = 90° - ∠ G$；
3. 已知$OE ⊥ AB$，所以$∠ FEB = 90°$，在$Rt△ FEB$中，$∠ F = 90° - ∠ B$；
4. 结合$∠ G = ∠ B$，可推出$∠ GAC = ∠ F$；
5. 又因为$∠ ODA = ∠ CDF$（对顶角相等），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ AOD ∽ △ FCD$。
【答案】
$△ AOD$与$△ FCD$相似，理由见上述解析。
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题通过构造直径所对的圆周角这一辅助线，借助圆周角定理、直角三角形的性质找到相等的角，结合对顶角相等，利用相似三角形的判定定理完成证明，构造合适的辅助线是解题的核心突破口。