第59页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

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解：$∠C=90°，$$sinA=\frac {BC}{AB}=cos B$

∵$∠B=90°-∠A$

∴$sinA=cos(90°-A)$

$解：BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=\sqrt {6^2-3^2}=3\sqrt 3$

$∴sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {\sqrt 3}2，cosA=\frac {AC}{AB}=\frac 12$

$解：BC=AB · sinA=15×\frac 13=5$

$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt {15^2-5^2}=10\sqrt 2 $

$解：作AE⊥BC交BC于点E$

$则BE=\frac 12(BC-AD)=\frac 12×(18-8)=5$

$AE=\sqrt {AB^2-BE^2}=12$

$∴sinB=\frac {AE}{AB}=\frac {12}{13}，cosB=\frac {BE}{AB}=\frac {5}{13}，tanB=\frac {AE}{BE}=\frac {12}{5}$

【解析】
(1) 因为∠A、∠B为锐角且∠A=∠B，根据锐角正弦函数的性质，相等的锐角的正弦值相等，所以$\sin A = \sin B$；
(2) 因为∠A、∠B为锐角且$\sin A = \sin B$，正弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间单调递增，所以对应的角度相等，即$∠A = ∠B$。
【答案】
(1) $=$；(2) $=$
【知识点】
锐角正弦函数性质，正弦函数单调性
【点评】
本题考查锐角正弦函数的基本性质，需牢记正弦函数在锐角范围内的单调性及角度与正弦值的对应关系，熟练掌握该性质是解题关键。

【解析】
构造Rt△ABC，令∠C=90°。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{BC}{AB}$，$\cos B=\frac{BC}{AB}$，因此$\sin A=\cos B$。
又
∵在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A，
∴$\sin A=\cos(90^{\circ}-A)$。
【答案】
$\sin A$与$\cos(90^{\circ}-A)$相等，理由见上述解析。
【知识点】
锐角三角函数定义；互余角的三角函数关系
【点评】
本题考查互余角的三角函数关系的推导，通过构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义即可得出结论，重点在于对三角函数基本定义的理解与应用。

【解析】
在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=\sqrt {6^2-3^2}=3\sqrt 3$
根据锐角三角函数的定义：
$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {3\sqrt{3}}{6}=\frac {\sqrt 3}2$，
$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {3}{6}=\frac 12$
【答案】
$ \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2} $，$ \cos A=\frac{1}{2} $
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查直角三角形中勾股定理的应用及锐角三角函数的定义，解题关键是先利用勾股定理求出直角边BC的长度，再根据三角函数定义计算对应值。

【解析】
在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，根据锐角正弦的定义：$ \sin A = \dfrac{BC}{AB} $，可得：
$ BC = AB · \sin A = 15×\dfrac{1}{3} = 5 $
再根据勾股定理：$ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} $，代入数值计算：
$ AC = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = 10\sqrt{2} $
【答案】
$ AC = 10\sqrt{2} $，$ BC = 5 $
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题考查锐角三角函数定义与勾股定理的综合应用，需熟练掌握相关定义和定理，准确代入数值计算。

【解析】
过点A作$AE⊥ BC$于点E，
因为$AD// BC$，$AB=DC$，所以四边形$ABCD$是等腰梯形，
则$BE=\frac{1}{2}(BC-AD)=\frac{1}{2}×(18-8)=5$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
根据锐角三角函数的定义：
$\sin B=\frac{AE}{AB}=\frac{12}{13}$，
$\cos B=\frac{BE}{AB}=\frac{5}{13}$，
$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\sin B=\frac{12}{13}$，$\cos B=\frac{5}{13}$，$\tan B=\frac{12}{5}$
【知识点】
等腰梯形性质、勾股定理、锐角三角函数定义
【点评】
本题通过作梯形的高，将等腰梯形转化为直角三角形与矩形的组合，利用等腰梯形性质和勾股定理求出直角三角形的边长，再结合锐角三角函数定义求解，体现了转化思想的应用。