第71页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

方法一：找一根竹竿，插在合适的地方，趴在地下看竹竿头，发现竹竿头

和大楼顶重合，测量眼睛离竹竿距离，距离楼的距离，以及竹竿的高度，

由相似比算出楼高

方法二：找到一根竹竿，插在地上，测量出竿以及竹竿影子以及楼影长度，

由相似比算出楼高

$\frac {4}{5}$

$\frac {3}{4}$

$\frac {3}{2}$

$1：\sqrt 3：2$

$1：1：\sqrt 2$

5.0

6.5

10.5

C

【解析】
在$ \mathrm{Rt} △ ABC $中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，根据勾股定理可得斜边$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $。
1. 由正弦的定义，$ \sin A = \frac{\mathrm{∠}A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $；
2. 由余弦的定义，$ \cos B = \frac{\mathrm{∠}B\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $；
3. 由正切的定义，$ \tan B = \frac{\mathrm{∠}B\mathrm{的对边}}{\mathrm{∠}B\mathrm{的邻边}} = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $。
【答案】
$ \frac{4}{5} $；$ \frac{4}{5} $；$ \frac{3}{4} $
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的计算，需熟练掌握勾股定理及正弦、余弦、正切的定义，准确区分角的对边、邻边与斜边是解题核心。

【解析】
1. 对于含$30^{\circ}$角的直角三角形：设$30^{\circ}$角所对的直角边长为$a$，根据含$30^{\circ}$角的直角三角形性质，斜边长为$2a$。由勾股定理可得另一条直角边长为$\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$，因此三边长的比为$a:\sqrt{3}a:2a=1:\sqrt{3}:2$。
2. 对于含$45^{\circ}$角的直角三角形：该三角形为等腰直角三角形，设直角边长为$b$，由勾股定理可得斜边长为$\sqrt{b^2 + b^2}=\sqrt{2}b$，因此三边长的比为$b:b:\sqrt{2}b=1:1:\sqrt{2}$。
【答案】
$1:\sqrt{3}:2$；$1:1:\sqrt{2}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】
这两组特殊直角三角形的边长比是几何中的重要结论，需熟练牢记，常用于几何计算、证明等场景。

【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=40^{\circ}$，$BC=4.2$。
1. 计算$AC$：
根据正切函数定义，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，变形得$AC=\frac{BC}{\tan A}$。
代入数据，$\tan40^{\circ}\approx0.8391$，则$AC=\frac{4.2}{0.8391}\approx5.0$。
2. 计算$AB$：
根据正弦函数定义，$\sin A=\frac{BC}{AB}$，变形得$AB=\frac{BC}{\sin A}$。
代入数据，$\sin40^{\circ}\approx0.6428$，则$AB=\frac{4.2}{0.6428}\approx6.5$。
【答案】
5.0；6.5
【知识点】
锐角三角函数的应用；直角三角形边角关系
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的应用，需熟练掌握正切、正弦函数的定义，准确代入三角函数值计算，并严格按照要求保留结果精度。

【解析】
根据坡度的定义，坡度=垂直高度:水平宽度，已知垂直高度为3m，坡度为1:2.5，可得水平宽度为 $3 × 2.5 = 7.5 \, \mathrm{m}$。
楼梯表面铺地毯的长度等于垂直高度与水平宽度之和，因此地毯长度至少为 $3 + 7.5 = 10.5 \, \mathrm{m}$。
【答案】
10.5
【知识点】
坡度的定义，平移的应用
【点评】
本题考查坡度的实际应用，关键是理解地毯长度等于楼梯垂直高度与水平宽度之和，利用坡度求出水平宽度是解题核心。

【解析】
在$△ABC$中，$∠A$、$∠B$都是锐角，
因为$\sin A = \dfrac{1}{2}$，所以$∠A = 30°$；
因为$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠B = 30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 30° = 120°$，
$∠C$为钝角，故此三角形是钝角三角形。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题考查特殊角的三角函数值与三角形内角和定理的综合应用，熟记特殊角的三角函数值是解题基础，通过计算内角大小可判断三角形类型。