第95页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：记指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域为事件A$

$把转盘均分成3份，则转盘转动之后指针落在任意区域$

$均为等可能事件。可看成转盘的3份颜色分别$

$为白，黑，黑。转盘自由转动2次的结果如下表所示：$

$以上共有9种等可能的结果，其中事件A发生占4种。$

$∴P(\mathrm {A})=\frac 49$

解：∵四边形$ABCD$为正方形

∴$∠B=∠C=90°$

∵四边形$EFGH$为正方形

∴$∠AEF=90°$

∴$∠AEB=90°-∠FEC=∠EFC$

∴$△ABE∽△ECF$

∴$\frac {AB}{BE}=\frac {EC}{CF}，$即$\frac {12}9=\frac {12-9}{CF}$

∴$CF=\frac 94$

∴$EF=\sqrt {EC^2+CF^2}=\frac {15}{4}，$

即正方形$EFGH$的边长是$\frac {15}{4}$

解：作$AD⊥BC$交$BC$于点$D$

∵$AB=\sqrt 2，$$∠B=45°，$$BC=1+\sqrt 3$

∴$AD=AB · sinB=\sqrt 2×\frac {\sqrt 2}2=1$

$BD=AD=1，$$CD=BC-BD=\sqrt 3$

$tanC=\frac {AD}{CD}=\frac {\sqrt 3}3$

∴$∠C=30°，$$∠BAC=180°-45°-30°=105°，$$AC=\frac {AD}{sinC}=2$

【解析】
记指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域为事件A。
由于白色扇形圆心角为$120^{\circ}$，黑色扇形圆心角为$240^{\circ}$，将转盘均分成3份，颜色分别为白、黑、黑，此时转盘转动后指针落在任意区域为等可能事件。
列表列举转盘自由转动2次的所有等可能结果：
|第一次\第二次|白|黑|黑|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|白|（白，白）|（白，黑）|（白，黑）|
|黑|（黑，白）|（黑，黑）|（黑，黑）|
|黑|（黑，白）|（黑，黑）|（黑，黑）|
共有9种等可能的结果，其中事件A包含的结果有4种。
根据概率公式可得：$P(A)=\frac{4}{9}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{9}}$
【知识点】
列表法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题通过将转盘等分，把非等可能事件转化为等可能事件，再利用列表法列举所有等可能结果，进而计算概率，体现了转化思想，是求复杂概率问题的常用方法。

【解析】
1. 由正方形$ABCD$的性质，得$∠ B=∠ C=90^{\circ}$；由正方形$EFGH$的性质，得$∠ AEF=90^{\circ}$，因此$∠ AEB + ∠ FEC=90^{\circ}$。
2. 因为$∠ FEC + ∠ EFC=90^{\circ}$，所以$∠ AEB=∠ EFC$，可证$△ ABE ∽ △ ECF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 根据相似三角形的性质，$\frac{AB}{BE}=\frac{EC}{CF}$，已知$AB=12$，$BE=9$，$EC=12-9=3$，代入得$\frac{12}{9}=\frac{3}{CF}$，解得$CF=\frac{9}{4}$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{3^2+(\frac{9}{4})^2}=\frac{15}{4}$，即小正方形$EFGH$的边长为$\frac{15}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{15}{4}}$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合运用正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理求解，解题关键是通过角度关系证明三角形相似，建立线段比例关系求出相关线段长度，再利用勾股定理计算小正方形边长，需熟练掌握几何图形的性质与定理的综合应用。

【解析】
作$AD⊥BC$交$BC$于点$D$，
∵$AB = \sqrt{2}$，$∠B = 45^{\circ}$，$BC = 1 + \sqrt{3}$，
∴$AD = AB·sinB = \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$，
由等腰直角三角形性质得$BD = AD = 1$，
$CD = BC - BD = (1 + \sqrt{3}) - 1 = \sqrt{3}$，
在$Rt△ADC$中，$tanC = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠C = 30^{\circ}$，
根据三角形内角和定理，$∠BAC = 180^{\circ} - ∠B - ∠C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 105^{\circ}$，
$AC = \frac{AD}{sinC} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
【答案】
$∠C = 30^{\circ}$，$∠BAC = 105^{\circ}$，$AC = 2$
【知识点】
解直角三角形，三角函数的定义，三角形内角和定理
【点评】
通过作斜三角形的高将其转化为直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解，是解斜三角形的常用方法，体现了转化思想的应用。