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第25页

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16或4

$=4x^4-2x^2+\frac 14$

$=x^2-2xy+y^2-x^2-2xy-y^2$

$=-4xy$

$=(a-2b)^2(a-2b)$

$=(a^2-4ab+4b^2)(a-2b)$

$=a³-2a²b-4a²b+8ab²+4ab²-8b³$

$=a^3-8b^3-6a^3b+12ab^2$

$=(a-2b)^2+2(a-2b)c+c^2$

$=a^2-4ab+4b^2+2ac-4bc+c^2$

解：设$x-2023=a，$则$(a+2)^2+(a-2)^2=34$

即$a^2+4a+4+a^2-4a+4=34，$$2a^2=26，$$a^2=13$

∴$(x-2023)^2=13$

$(2)$解：∵点$M$为$BG $的中点，$m+n=10，$

即$BC+CG=BG=10，$∴$BM=GM=5，$

∴阴影部分的面积为$\mathrm {m^2}+n^2-\frac 12×5\ \mathrm {m}-\frac 12×5n$

$=\mathrm {m^2}+n^2-\frac 52(m+n)$

$=(m+n)^2-2\ \mathrm {m}n-\frac 52(m+n)$

$=10^2-2×15-\frac 52×10=45。$

$(3)①$证明：$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$

$=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$

$=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。$

②解：∵$a+b=5，$$ab=2，$

∴$ab(a+b)=a^2b+ab^2=2×5=10，$

∴$a^3+b^3=(a+b)^3-(3a^2b+3ab^2)$

$=(a+b)^3-3(a^2b+ab^2)=5^3-3×10=95$

$a^6+b^6=(a^3+b^3)^2-2(\mathrm {ab})^3$

$=95^2-2×2^3=9009$