解:若$5、$$6$月份的用电都在第二档,则$450×0.57=256.5($元$)$
$256.5>247.5,$不符合题意,则$5$月份用电在第一档,$6$月份用电
在第二档
$ $设$5$月份用电量为$ x\mathrm {kW·h},$$6$月份用电量为$ y\mathrm {kW·h}。$
根据题意,得$\begin {cases} x + y = 450\\0.52x + 0.57y = 247.5 \end {cases},$解得$\begin {cases} x = 180\\y = 270 \end {cases}。$
答:该户居民$5$月份用电$180\ \mathrm {kW·h},$$6$月份用电$270\ \mathrm {kW·h}。$