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证明：∵ ​$AD// BC$​，​$ED = BC$​，
∴ 四边形 ​$BCDE$​ 是平行四边形
∵ ​$∠ ABD = 90°$​，​$E$​ 为 ​$AD$​ 的中点，
∴ ​$BE = DE=\frac {1}{2}AD$​，
∴ 平行四边形 ​$BCDE$​ 是菱形。
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解：​$(1)$​如图所示。
​$(2)$​根据作图可知，
直线​$MN$​垂直平分线段​$AC$​，
∴​$AE = CE$​，​$∠ AED=∠ ACB = 90°$​，
∴​$DE// BC$​。
根据​$△ ADE$​的旋转方法，得​$EF = DE$​。
又​$∠ AED=∠ CEF$​，
在​$△AED$​和​$△CEF_{中}$​：
​$\begin {cases}{AE=CE} \\{∠AED=∠CEF} \\{ED=EF}\end {cases}$​
∴​$△≌△(\mathrm {SAS})$​
∴​$∠ A=∠ ECF$​，∴​$AB// CF$​。
又​$DF// BC$​，
∴四边形​$BCFD$​是平行四边形。
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