解：$(1)$已知$\begin {cases}x + 2y+3z = 10&(\mathrm {a})\\5x + 6y+7z = 26&(\mathrm {b})\end {cases}$
$(\mathrm {a})+(\mathrm {b})$得：$(x + 2y+3z)+(5x + 6y+7z)=10 + 26$
即$6x+8y + 10z=36$
两边同时除以$2$得：$3x + 4y+5z = 18$
$ (2)$求方程组$\begin {cases}a_{1}(x - 2)-b_{1}(y + 1)=m\\a _{2}(x - 2)-b_{2}(y + 1)=n\end {cases}$的解
因为关于$x，y$的二元一次方程组$\begin {cases}a_{1}x - b_{1}y=m\\a _{2}x - b_{2}y=n\end {cases}$的解是$\begin {cases}x = 8\\y = 10\end {cases}$
对于方程组$\begin {cases}a_{1}(x - 2)-b_{1}(y + 1)=m\\a _{2}(x - 2)-b_{2}(y + 1)=n\end {cases}，$令$\begin {cases}m=x - 2\\n =y + 1\end {cases}$
则可得$\begin {cases}x-2=8\\y + 1=10\end {cases}$
解得$\begin {cases}x=10\\y = 9\end {cases}$
$(3)$设一本笔记本$x$元，一支签字笔$y$元，一支记号笔$z$元。
根据题意得$\begin {cases}3x + 2y+z = 28&(\mathrm {c})\\7x + 5y+3z = 66&(\mathrm {d})\end {cases}$
$(\mathrm {c})×2$得：$6x + 4y+2z = 56\quad (\mathrm {e})$
$(\mathrm {d})-(\mathrm {e})$得：$(7x + 5y+3z)-(6x + 4y+2z)=66 - 56$
即$x+y + z = 10$
那么$45(x + y+z)=45×10 = 450($元$)$
