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A
A
C
B
0.1
200
0.25
【分析】
首先明确必然事件的定义：在一定条件下一定会发生的事件。解题时需分析摸出3个球的所有可能情况，判断每个选项是否在任何情况下都成立。
袋子里有4个黑球、2个白球，摸3个球时，白球最多只能摸到2个（因为总共只有2个白球），所以剩下的球必然是黑球；同时要考虑其他选项是否存在不成立的情况，比如摸出3个黑球时，B选项不成立；摸出2白1黑时，C选项不成立；摸出3黑或1白2黑时，D选项不成立。通过排除法可确定必然事件。
【解析】
根据必然事件的定义：在一定条件下必然会发生的事件，对各选项逐一分析：
1. 选项A：袋子中仅有2个白球，摸出3个球时，最多只能包含2个白球，因此剩下的至少1个球一定是黑球，该事件一定会发生，属于必然事件。
2. 选项B：若摸出的3个球均为黑球（黑球数量为4，满足摸出3个的条件），则没有白球，该事件可能不发生，属于随机事件。
3. 选项C：若摸出2个白球和1个黑球，此时仅含1个黑球，不满足“至少有2个黑球”，该事件可能不发生，属于随机事件。
4. 选项D：袋子中只有2个白球，摸出的3个球中最多有2个白球，也可能是1个白球或0个白球，该事件可能不发生，属于随机事件。
综上，必然事件是选项A。
【答案】
A
【知识点】
必然事件的判定、事件的分类
【点评】
本题主要考查对必然事件概念的理解与应用，解题关键是结合球的数量，分析摸球的所有可能情况，通过寻找反例排除非必然事件。题目难度较低，侧重基础概念的考查，帮助学生区分必然事件与随机事件。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断每个说法的正误，需结合随机事件、必然事件、不可能事件的定义，概率的意义以及直角三角形三边关系逐一分析：
1. 对于①，只有两条平行线被第三条直线所截时同位角才相等，若直线不平行则同位角不相等，需判断该事件是否为随机事件；
2. 对于②，根据多边形外角和定理，任意多边形外角和均为360°，据此判断事件类型；
3. 对于③，概率计算需基于各事件发生的条件均等，而十字路口红绿灯时长不一定相等，不能直接得出遇黄灯的概率；
4. 对于④，概率是事件发生的可能性大小，不是必然结果，需明确抽奖次数与中奖的关系；
5. 对于⑤，直角三角形两边长为3和4，需分4为直角边或斜边两种情况讨论，判断第三边是否唯一。
【解析】
逐个分析各说法：
①“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”：只有两条直线平行时同位角相等，不平行时不相等，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，此说法正确；
②“任意画一个多边形，其外角和为360°”：根据多边形外角和定理，任意多边形外角和恒为360°，这是必然事件，而非不可能事件，此说法错误；
③汽车到达十字路口时恰好遇到黄灯的概率是$\frac{1}{3}$：十字路口红、绿、黄灯时长不一定相等，因此遇到黄灯的概率不一定为$\frac{1}{3}$，此说法错误；
④若抽奖活动的中奖概率为$\frac{1}{50}$，则抽奖50次必中奖1次：概率仅表示事件发生的可能性，抽奖50次不是必然中奖1次，此说法错误；
⑤如果一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长一定为5：分两种情况，当4为直角边时，第三边为$\sqrt{3^2+4^2}=5$；当4为斜边时，第三边为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，因此第三边不一定为5，此说法错误。
综上，只有①说法正确，正确的有1个。
【答案】
A
【知识点】
随机事件判定、多边形外角和定理、直角三角形三边关系
【点评】
本题综合考查事件分类、概率意义及直角三角形三边关系，解题关键是准确理解相关概念与定理，注意分类讨论思想在直角三角形计算中的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先，根据频率与概率的关系，当试验次数足够多时，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，说明摸到黑球的概率约为0.25。接下来，设盒子中红球的个数为x，那么球的总数为红球个数加黑球个数，即x+5。根据古典概型的概率公式，摸到黑球的概率等于黑球个数除以总球数，由此可列出关于x的方程，解方程即可求出红球的个数。
【解析】
设盒子中红球的个数为x。
因为多次摸球试验后，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，所以摸到黑球的概率约为0.25。
根据概率公式：$P(摸到黑球)=\frac{黑球个数}{总球个数}$，可得：
$\frac{5}{x+5}=0.25$
解方程：
两边同时乘以$x+5$得：$5=0.25(x+5)$
展开得：$5=0.25x+1.25$
移项得：$0.25x=5-1.25$
计算得：$0.25x=3.75$
两边同时除以0.25得：$x=15$
所以盒子中红球的个数约为15，故选C。
【答案】
C
【知识点】
频率估计概率、概率的计算公式
【点评】
本题主要考查用频率估计概率的实际应用，核心是利用频率稳定值得到对应事件的概率，再结合古典概型的概率公式建立方程求解。题目难度较低，需要学生熟练掌握频率与概率的关系以及概率的基本计算方法，培养利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
要估算不规则图案的面积，可利用“用频率估计概率”结合几何概型的知识来解决。首先，当试验次数足够多时，小石子落在不规则图案内的频率会稳定在概率附近，从折线统计图可看出稳定的频率约为0.35；其次，几何概型中，小石子落在不规则图案内的概率等于不规则图案的面积除以长方形的面积。因此我们可以先计算长方形的面积，再根据概率公式求出不规则图案的面积。
【解析】
1. 计算长方形区域的面积：
长方形的长为5m，宽为4m，所以面积为 $ 5 × 4 = 20 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 确定小石子落在不规则图案内的概率：
观察折线统计图，当试验次数增多时，频率逐渐稳定在0.35左右，因此估计小石子落在不规则图案内的概率为0.35。
3. 计算不规则图案的面积：
设不规则图案的面积为$ S $，根据几何概型的概率公式，$ \frac{S}{20} = 0.35 $，解得 $ S = 20 × 0.35 = 7 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，几何概型
【点评】
本题将不规则图形面积的估算转化为概率问题，利用大量重复试验中频率稳定值估计概率，再结合几何概型的公式求解，体现了转化思想，考查了对概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先明确频率的定义：频率是某个事件发生的次数与总试验次数的比值。解题时，先根据抽查的不合格灯泡数量和抽查总数计算不合格灯泡的频率；再利用样本频率估计总体的不合格率，用总灯泡数乘以该频率，即可得到估计的不合格产品数量。第一步聚焦频率计算，第二步通过样本估计总体。
【解析】
1. 计算不合格灯泡的频率：
频率 = 不合格灯泡数量 ÷ 抽查灯泡总数 = $ \frac{10}{100} = 0.1 $
2. 估计2000个灯泡中不合格产品的数量：
不合格产品估计数 = 总灯泡数 × 不合格频率 = $ 2000 × 0.1 = 200 $
【答案】
0.1，200
【知识点】
频率的计算、用样本估计总体
【点评】
本题考查频率的基本计算以及用样本估计总体的统计思想，属于基础题型，只要掌握频率的定义和样本估计总体的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先明确题目条件：去掉大小王后剩余52张牌，其中红桃有13张。根据频率稳定性定理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件的概率附近。因此我们先计算抽到红桃的概率，这个概率就是频率稳定的数值。具体思路为：先确定红桃数量和总牌数，用红桃数量除以总牌数得到概率，进而得出频率稳定的数值。
【解析】
去掉大小王后，总牌数为52张，其中红桃的数量为13张。
根据古典概型概率计算公式，抽到红桃的概率为：
$ P(\mathrm{抽到红桃}) = \frac{\mathrm{红桃的数量}}{\mathrm{总牌数}} = \frac{13}{52} = 0.25 $
根据频率稳定性定理，随着试验次数的增加，出现“红桃”的频率将稳定在其概率值左右，即0.25左右。
【答案】
0.25
【知识点】
频率稳定性定理，古典概型概率计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查频率与概率的关系以及古典概型的简单计算，解题关键是理解频率稳定于概率的核心原理，并能正确运用古典概型公式计算概率。
【难度系数】
0.9
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