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互相平分
中心
对角线的交点
A
D
A
B
C
4
【分析】
要解决这道题，首先回忆平行四边形的相关性质，平行四边形有边、角、对角线三类性质，其中关于对角线的性质定理2，我们可以通过课本知识记忆，也可以通过画图结合全等三角形证明来推导：在平行四边形中，连接两条对角线，可利用平行四边形对边平行且相等的性质，证明对角线分成的两对三角形全等，从而得出对角线被交点分成的两段相等，即对角线互相平分。
【解析】
根据平行四边形的性质定理2可知，平行四边形的对角线互相平分。
【答案】
互相平分
【知识点】
平行四边形对角线性质
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于必记知识点，是后续学习平行四边形相关证明、计算的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先回忆对称图形的分类，分为轴对称图形和中心对称图形。先判断平行四边形的轴对称性：将平行四边形沿任意直线对折，对折后两边无法完全重合，因此它不是轴对称图形。再结合中心对称图形的定义（绕某点旋转180°后能与自身重合的图形），平行四边形绕对角线交点旋转180°后，每个顶点会与相对的顶点重合，整个图形与自身完全重合，所以平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线交点。
【解析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
平行四边形绕其对角线的交点旋转180°后，能与自身完全重合，因此平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
【答案】
中心，对角线交点
【知识点】
中心对称图形，平行四边形性质
【点评】
本题考查中心对称图形的概念及平行四边形的基本性质，属于基础概念题，需要准确区分轴对称与中心对称图形的特点，牢记平行四边形的对称性特征。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这道题，首先回忆平行四边形的核心性质：平行四边形的对角线互相平分。题目要求△BOC的周长，周长是三角形三边长度之和，所以需要先求出OB、OC的长度，再加上已知的BC长度即可。具体思路是：利用平行四边形对角线互相平分的性质，分别算出OC（AC的一半）和OB（BD的一半），最后将OB、OC、BC相加得到周长，再对应选项选出答案。
【解析】
因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质：
对角线AC、BD相交于点O，所以$OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = \frac{1}{2}BD$。
已知$AC = 8$，$BD = 14$，代入得：
$OC = \frac{1}{2}×8 = 4$，$OB = \frac{1}{2}×14 = 7$。
又已知$BC = 10$，所以△BOC的周长为$OB + OC + BC = 7 + 4 + 10 = 21$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形对角线性质，三角形周长计算
【点评】
本题主要考查平行四边形的基本性质，属于基础题型，解题关键是熟练掌握平行四边形对角线互相平分这一性质，结合三角形周长公式即可快速求解，难度较低，适合巩固平行四边形的基础知识点。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先，根据平行四边形的性质，其对角线互相平分，可先求出对角线被交点分成的两段长度；再利用三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定AB的取值范围，最后结合选项选出符合条件的答案。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$AC = 4$，$BD = 6$，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$。
在$△ AOB$中，根据三角形三边关系：
两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，即$BO - AO ＜ AB ＜ BO + AO$，
代入数值可得：$3 - 2 ＜ AB ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ AB ＜ 5$。
结合选项：
A. $7＞5$，不符合；B. $6＞5$，不符合；C. $5$等于取值范围上限，不符合；D. $4$在$1＜ AB＜5$范围内，符合条件。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查平行四边形性质与三角形三边关系的应用，解题核心是先利用平行四边形对角线的性质得到三角形的两边长度，再通过三边关系确定第三边的取值范围，进而筛选出正确选项，属于基础综合类题目。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可先求出AO的长度；由于BA⊥AC，△ABO为直角三角形，已知AB和AO的长度，利用勾股定理可计算出BO的长，最后结合BD=2BO即可求出BD的长度。
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$AO = \frac{1}{2}AC$
已知$AC=6$，代入得：$AO = \frac{1}{2}×6 = 3$。
2. 因为$BA⊥AC$，所以$∠ BAO=90°$，即$△ ABO$是直角三角形。
在$Rt△ ABO$中，$AB=4$，$AO=3$，根据勾股定理：
$BO = \sqrt{AB^2 + AO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$。
3. 由平行四边形对角线互相平分的性质可知$BD=2BO$，因此：
$BD=2×5=10$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形性质与勾股定理的综合运用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将求BD的长转化为求BO长的2倍，再结合直角三角形的勾股定理求解，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决本题，我们可以通过平行四边形的性质和全等三角形的判定来转化面积：
1. 首先回忆平行四边形的核心性质：对角线互相平分，对边平行，且对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形；
2. 利用$AB// CD$的性质，结合对角线交点$O$的平分特性，可证明$△ AOE≌△ COF$，从而将$△ AOE$的面积转化为$△ COF$的面积；
3. 此时$△ AOE$与$△ DOF$的面积之和就等于$△ COF$与$△ DOF$的面积之和，即$△ COD$的面积，再结合平行四边形的面积即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$O$为对角线$AC$、$BD$的中点，$AB// CD$，且$S_{△ COD}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}$，
∴$∠ OAE=∠ OCF$，$∠ OEA=∠ OFC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OCF \\∠ OEA=∠ OFC \\AO=CO\end{cases}$
∴$△ AOE≌△ COF$（AAS），
∴$S_{△ AOE}=S_{△ COF}$。
因此$S_{△ AOE}+S_{△ DOF}=S_{△ COF}+S_{△ DOF}=S_{△ COD}$。
∵$S_{□ ABCD}=12$，
∴$S_{△ COD}=\frac{1}{4}×12=3$，
即$△ AOE$与$△ DOF$的面积之和为3。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质与全等三角形的综合应用，解题关键是通过全等三角形实现面积的等量转化，利用平行四边形对角线分面积的规律简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先，根据平行四边形的性质，可得$AB=CD$，$AD=BC$，对角线互相平分即$BD=2BO$；其次，$OE⊥BD$且$O$是$BD$中点，所以$OE$是$BD$的垂直平分线，由垂直平分线的性质可知$BE=DE$。接下来分别表示出$△ BCD$和$△ ABE$的周长，利用题目给出的周长差，通过等量代换求出$BD$的长度，最后结合平行四边形对角线平分的性质求出$BO$的长。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AD=BC$，$OB=OD$，$BD=2BO$。
∵ $OE⊥BD$，$O$为$BD$的中点，
∴ $OE$是线段$BD$的垂直平分线，
∴ $BE=DE$。
计算两个三角形的周长：
$△ BCD$的周长为$BC+CD+BD$，
$△ ABE$的周长为$AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD$（$AE+DE=AD$）。
已知$△ BCD$的周长比$△ ABE$的周长大8，
则：$(BC+CD+BD)-(AB+AD)=8$，
将$BC=AD$，$CD=AB$代入上式：
$(AD+AB+BD)-(AB+AD)=BD=8$。
又
∵ $BD=2BO$，
∴ $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题关键是通过等量代换将周长差转化为对角线$BD$的长度，进而利用平行四边形对角线互相平分的性质求出$BO$的长，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先，根据平行四边形的性质，$AD// BC$，对角线互相平分，可证$△ AOM≌△ CON$，得到$OM=ON$，$AM=CN$；再利用$AD=BC$，推导出$MD=BN=2$；结合$∠ MDO=∠ MOD$，可知$MO=MD=2$，最后由$MN=2MO$即可求出$MN$的长度。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$OA=OC$，$AD=BC$，
∴ $∠ OAM=∠ OCN$，$∠ OMA=∠ ONC$。
在$△ AOM$和$△ CON$中，
$\begin{cases}∠ OMA=∠ ONC \\∠ OAM=∠ OCN \\OA=OC\end{cases}$
∴ $△ AOM≌△ CON$（AAS），
∴ $OM=ON$，$AM=CN$。
∵ $AD=BC$，
∴ $AD-AM=BC-CN$，即$MD=BN=2$。
又
∵ $∠ MDO=∠ MOD$，
∴ $MO=MD=2$，
∴ $MN=2MO=2×2=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及等腰三角形的相关知识，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等三角形，实现线段的等量转化，再结合等腰三角形的判定求出线段长度。
【难度系数】
0.6
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