第42页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

直角

平行四边形

直角

相等

C

A

D

$4\sqrt{5}$

(7,2)

(8,4)或$\left(\frac{5}{2},7\right)$

【分析】
要解决这道题，首先回忆矩形的定义：矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性体现在角的特征上。我们需要先确定矩形所属的图形类别，再明确它区别于一般平行四边形的角的条件，从而得出答案。
【解析】
根据矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，所以依次填入直角、平行四边形。
【答案】
直角，平行四边形
【知识点】
矩形的定义
【点评】
本题考查矩形的基础定义，属于概念识记类题目，明确矩形是特殊的平行四边形，掌握其特殊的角的特征即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
这道题考查矩形的基本性质，可从矩形的定义切入思考：矩形是有一个角为直角的平行四边形，它兼具平行四边形的所有性质，同时还有自身特殊性质。对于角的性质，利用平行四边形邻角互补的特点，结合矩形有一个角是直角，可推导出四个角均为直角；对于对角线，在平行四边形对角线互相平分的基础上，矩形作为特殊的平行四边形，其对角线还具备相等的特性，也可通过全等三角形证明这一结论。
【解析】
1. 矩形角的性质推导：
矩形是特殊的平行四边形，平行四边形邻角互补（和为180°），且矩形有一个角是直角（90°），则与该角相邻的角为180°-90°=90°，同理可证另外两个角也为90°，故矩形的四个角都是直角。
2. 矩形对角线的性质推导：
在矩形ABCD中，AB=CD（平行四边形对边相等），AD=BC（平行四边形对边相等），∠BAD=∠CDA=90°，根据SAS全等判定定理可得△ABD≌△DCA，因此AC=BD，即矩形的对角线相等。
【答案】
直角，相等
【知识点】
矩形的性质
【点评】
本题为基础概念题，直接考查矩形的核心性质，是矩形相关证明、计算的基础内容，需熟练牢记并理解其推导过程，为后续几何学习筑牢根基。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决这道题，我们需要明确平行四边形和矩形的性质差异：矩形是特殊的平行四边形，因此平行四边形的所有性质矩形都具备，我们要找出矩形独有的、一般平行四边形不一定具有的性质。
1. 先回忆平行四边形的基本性质：对边平行且相等、对角线互相平分；
2. 再回忆矩形的特殊性质：除平行四边形的所有性质外，还具有对角线相等、四个角都是直角的性质；
3. 最后逐个分析选项，对比两者性质，排除平行四边形也具备的选项，即可得到正确答案。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：对角线互相平分是平行四边形的基本性质，矩形作为特殊平行四边形也具备该性质，因此不是矩形特有，排除；
选项B：对角线互相垂直是菱形（特殊平行四边形）的性质，矩形的对角线一般不互相垂直，不符合题意，排除；
选项C：一般平行四边形的对角线不相等，而矩形的对角线相等，这是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质，符合题意；
选项D：对边平行且相等是平行四边形的基本性质，矩形也具备该性质，排除。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形与矩形的性质差异，解题关键是牢记两类图形的性质，明确矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质，同时拥有自身特有的性质（如对角线相等）。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：
1. 先利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，得出OC=OD，即△ODC为等腰三角形；
2. 根据邻补角的性质，由∠AOD=124°计算出∠COD的度数；
3. 最后利用等腰三角形的内角和性质，计算出∠ODC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，$OC=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$（矩形的对角线相等且互相平分），
∴ OC=OD，△ODC是等腰三角形。
∵ ∠AOD=124°，∠AOD与∠COD互为邻补角，
∴ ∠COD=180°-∠AOD=180°-124°=56°。
在△ODC中，根据三角形内角和为180°，且OC=OD，
∴ $∠ ODC=\frac{180°-∠ COD}{2}=\frac{180°-56°}{2}=62°$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形性质，邻补角的定义
【点评】
本题考查矩形性质与等腰三角形的综合运用，解题关键是熟练掌握矩形对角线的性质，准确识别图形中的角的关系，利用邻补角和等腰三角形内角和计算角度，需要对矩形的核心性质有清晰的理解。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决本题，首先回忆矩形的核心性质：矩形的两条对角线长度相等，因此$AC$与$OB$作为矩形$OABC$的对角线，长度相等。所以我们可以先计算出$OB$的长度，即可得到$AC$的长度。计算$OB$时，已知$O$是坐标原点，$B$点坐标为$(2,3)$，可通过勾股定理（平面直角坐标系两点间距离公式）求解。
【解析】
连接$OB$，
因为四边形$OABC$是矩形，根据矩形的性质：矩形的对角线相等，所以$AC=OB$。
已知点$O$为坐标原点$(0,0)$，点$B$的坐标为$(2,3)$，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，
因此$AC=OB=\sqrt{13}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查矩形性质与勾股定理的综合应用，核心是利用矩形对角线相等的性质，将求$AC$的长转化为求$OB$的长，通过转化思想简化计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是矩形折叠的综合题，解题思路如下：
1. 先根据矩形的性质，得出矩形各边的长度和内角为直角的结论；
2. 利用折叠的性质，得到对应边相等（$BC'=BC$，$C'E=CE$）、对应角相等（$∠ BC'E=∠ C=90°$）；
3. 在$Rt△ ABC'$中，通过勾股定理计算出$AC'$的长度，进而得到$C'D$的长度；
4. 设$CE$的长为未知数，用含未知数的式子表示$DE$的长度，再在$Rt△ C'DE$中利用勾股定理建立方程，解方程即可求出$CE$的长。
【解析】
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=CD=6$，$AD=BC=10$，$∠ A=∠ D=∠ C=90°$。
由折叠的性质可知：$BC'=BC=10$，$C'E=CE$，$∠ BC'E=∠ C=90°$。
在$Rt△ ABC'$中，根据勾股定理：
$AC'=\sqrt{BC'^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
$\therefore C'D=AD - AC'=10-8=2$。
设$CE=x$，则$C'E=x$，$DE=CD - CE=6 - x$。
在$Rt△ C'DE$中，根据勾股定理：
$C'D^2 + DE^2 = C'E^2$，
即$2^2 + (6 - x)^2 = x^2$，
展开得：$4 + 36 - 12x + x^2 = x^2$，
化简得：$40 - 12x = 0$，
解得：$x=\frac{10}{3}$，即$CE=\frac{10}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题考查矩形与折叠的综合应用，核心是利用折叠的性质实现线段的等量转化，结合勾股定理构建方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握相关几何性质与定理的综合运用。
【难度系数】
0.6

【分析】
要计算AE的长，可借助矩形性质和勾股定理分步求解：首先根据矩形对边相等、四个角为直角的性质，得到CD=AB=8，∠C=∠B=90°，BC=AD=10；接着在Rt△DCE中，已知DE和CD的长度，用勾股定理求出EC的长度；再通过BC与EC的差得到BE的长度；最后在Rt△ABE中，利用勾股定理即可算出AE的长。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB=CD=8$，$∠ B=∠ C=90°$，$AD=BC=10$。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{DE^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$，
则$BE=BC - EC=10 - 6=4$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 + BE^2}=\sqrt{8^2 + 4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}$。
【答案】
$\sqrt{80}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查矩形性质与勾股定理的综合应用，解题关键是利用矩形的边角性质构造直角三角形，通过两次运用勾股定理逐步推导所求线段长度，题型基础，注重对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先设长方形的长为$a$，宽为$b$。根据点$A(-3,7)$的坐标及图形特征，可得出长与宽的两个数量关系：水平方向上长与宽的差为3，竖直方向上长与宽的和为7。通过解方程组求出长和宽后，结合点$B$的位置特征，即可确定其坐标。
【解析】
设每个长方形的长为$a$，宽为$b$。
由点$A(-3,7)$的坐标及图形可得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\a + b = 7\end{cases}$
解方程组：
1. 将两个方程相加，得$2a = 10$，解得$a = 5$；
2. 把$a = 5$代入$a - b = 3$，得$5 - b = 3$，解得$b = 2$。
观察图形可知，点$B$的横坐标为$a + b = 5 + 2 = 7$，纵坐标为$b = 2$，因此点$B$的坐标为$(7,2)$。
【答案】
$(7,2)$
【知识点】
二元一次方程组应用，平面直角坐标系坐标确定
【点评】
本题借助长方形的边长关系建立方程组求解，关键是结合图形与已知点坐标，准确找出长和宽的数量关系，体现了数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先根据矩形OABC的顶点B坐标(8,7)，确定OA=8，OC=7，明确各顶点坐标；再计算OD的长度为5。由于动点P在AB或BC上，因此分两种大情况讨论：
1. 当P在AB上时，设P(8,y)，结合等腰三角形的三种情况（OD=OP、OD=DP、OP=DP），逐一验证，排除无解情况，求出符合条件的y值；
2. 当P在BC上时，设P(x,7)，同样结合等腰三角形的三种情况，逐一验证，排除无解情况，求出符合条件的x值；
最终得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
已知矩形OABC中，点B(8,7)，则OA=8，OC=7，A(8,0)，C(0,7)；点D(5,0)，故OD=5。
分两种情况讨论：
情况1：点P在边AB上
设$P(8,y)$（$0 ≤ y ≤ 7$），此时：
$OP=\sqrt{8^2+y^2}$，$DP=\sqrt{(8-5)^2+y^2}=\sqrt{9+y^2}$。
若$OD=OP$：$5=\sqrt{64+y^2}$，则$64+y^2=25$，无实数解，舍去；
若$OD=DP$：$5=\sqrt{9+y^2}$，两边平方得$25=9+y^2$，解得$y^2=16$，因$y ≥ 0$，故$y=4$，即$P(8,4)$；
若$OP=DP$：$\sqrt{64+y^2}=\sqrt{9+y^2}$，则$64+y^2=9+y^2$，等式矛盾，舍去。
情况2：点P在边BC上
设$P(x,7)$（$0 ≤ x ≤ 8$），此时：
$OP=\sqrt{x^2+7^2}=\sqrt{x^2+49}$，$DP=\sqrt{(x-5)^2+7^2}=\sqrt{(x-5)^2+49}$。
若$OD=OP$：$5=\sqrt{x^2+49}$，则$x^2+49=25$，$x^2=-24$，无实数解，舍去；
若$OD=DP$：$5=\sqrt{(x-5)^2+49}$，则$(x-5)^2+49=25$，$(x-5)^2=-24$，无实数解，舍去；
若$OP=DP$：$\sqrt{x^2+49}=\sqrt{(x-5)^2+49}$，两边平方得$x^2=(x-5)^2$，展开得$x^2=x^2-10x+25$，解得$10x=25$，即$x=\frac{5}{2}$，故$P(\frac{5}{2},7)$。
综上，点P的坐标为$(8,4)$或$(\frac{5}{2},7)$。
【答案】
$(8,4)$或$(\frac{5}{2},7)$
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题考查矩形与等腰三角形的综合应用，需要结合坐标，利用勾股定理表示线段长度，通过分类讨论的思想，逐一分析等腰三角形的三种情况，排除无解的情况，最终得到符合条件的点坐标，注意分类讨论时要全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6