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40
3
$2+\sqrt{2}$
①②④
45
65
证明​$(2)$​∵四边形​$ABCD$​是正方形， 
∴​$AB=AD，∠EAB=∠EAD. $​
∵​$AE=AE， $​
∴​$△EAB≌△EAD(\mathrm {SAS})$​
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：
1. 利用平行四边形“对边平行，同旁内角互补”的性质，结合已知∠A=70°，求出∠D的度数；
2. 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到∠MFD=∠D；
3. 由点F在直线AB上，利用邻补角的定义求出∠AFM的度数；
4. 最后在△AMF中，根据三角形内角和定理，代入∠A和∠AFM的度数，计算出∠AMF的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠A + ∠D = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠A = 70°，
∴ ∠D = 180° - 70° = 110°。
由折叠的性质可知：∠MFD = ∠D = 110°。
∵ 点F在直线AB上，
∴ ∠AFM + ∠MFD = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AFM = 180° - 110° = 70°。
在△AMF中，根据三角形内角和定理：
∠AMF + ∠A + ∠AFM = 180°，
∴ ∠AMF = 180° - ∠A - ∠AFM = 180° - 70° - 70° = 40°。
【答案】
40
【知识点】
平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、折叠变换性质与三角形内角和定理的应用，解题关键是准确利用各性质逐步推导角的关系，理清折叠前后的对应角相等这一核心条件，结合平行线的性质完成计算。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先，由于P在AB上，根据线段和的性质可知PA+PB=AB=2，因此PA+PB+PM的最值可转化为求PM的最值，再加上2即可。
对于PM的最小值：因为AB与CD平行，根据平行线间垂线段最短，当P为AB中点时，PM垂直于AB（与AD平行），此时PM的长度等于AD=1；
对于PM的最大值：当P与A或B重合时，PM为直角三角形的斜边，可通过勾股定理计算出其长度为$\sqrt{2}$，进而得到整体的最大值。
【解析】
1. 计算PA+PB的固定值：
因为P是AB上的任意一点，所以$PA+PB=AB=2$（线段上任意一点分线段所得两部分的和等于线段总长），因此$PA+PB+PM=2+PM$，只需确定PM的最值即可。
2. 求$PA+PB+PM$的最小值：
在长方形ABCD中，$AD=1$，$AB=2$，M是CD中点，故$DM=1$，且$AB// CD$。
根据平行线间垂线段最短，当P为AB中点时，$PM⊥ AB$，此时$PM=AD=1$，
则$PA+PB+PM$的最小值为$2+1=3$。
3. 求$PA+PB+PM$的最大值：
当P与A（或B）重合时，PM的长度最大。在$Rt△ ADM$中，$AD=1$，$DM=1$，由勾股定理得：
$PM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
则$PA+PB+PM$的最大值为$2+\sqrt{2}$。
【答案】
3，$2+\sqrt{2}$
【知识点】
长方形的性质，勾股定理，线段最值
【点评】
本题通过转化思想将复杂的线段和问题简化为单一线段的最值问题，考查了长方形性质的运用、勾股定理的计算以及最值问题的分析能力，关键在于发现PA+PB为定值，从而简化问题。
【难度系数】
0.6
【分析】
我们结合正方形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一分析每个结论：
1. 对于结论①：根据平行四边形“对角线互相平分”的判定，取MN的中点O，过O作任意直线交正方形两边于P、Q，只要OP=OQ，四边形PMQN就是平行四边形。由于过O的直线有无数条，且M、N可在AC上移动（保持MN=2），因此存在无数个这样的平行四边形。
2. 对于结论②：根据菱形“对角线互相垂直平分”的判定，在AC上任意取长度为2的线段MN，作其垂直平分线交正方形两边于P、Q，此时四边形PMQN的对角线互相垂直平分，即为菱形。AC上满足MN=2的线段有无数个位置，因此存在无数个这样的菱形。
3. 对于结论③：矩形需要平行四边形且对角线相等（即MN=PQ=2），但正方形边长为4，在边上能找到长度为2且过MN中点的线段PQ的情况有限，无法形成无数个矩形，故③错误。
4. 对于结论④：当MN的中点为正方形对角线AC的中点时，作MN的垂直平分线，使PQ=MN=2且PQ⊥MN，此时四边形PMQN的对角线互相垂直且相等、平分，即为正方形，这样的四边形存在，故④正确。
【解析】
逐一验证各结论：
① 平行四边形的判定：
设MN的中点为O，过O作任意直线交正方形ABCD的两边于P、Q，只要保证OP=OQ（过O的直线与两边相交时，可通过调整直线角度实现），根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，四边形PMQN是平行四边形。由于过O的直线有无数条，且M、N在AC上可移动（保持MN=2），因此存在无数个平行四边形PMQN，①正确。
② 菱形的判定：
在AC上任意取长度为2的线段MN，作MN的垂直平分线，交正方形两边于P、Q，此时MN与PQ互相垂直平分，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，四边形PMQN是菱形。AC上满足MN=2的线段有无数个位置，对应无数种P、Q的组合，因此存在无数个菱形PMQN，②正确。
③ 矩形的判定：
矩形需满足“平行四边形且对角线相等”，即PQ=MN=2，且PQ过MN的中点。但正方形边长为4，在边上能找到长度为2且过该中点的线段PQ的情况有限，无法形成无数个矩形，③错误。
④ 正方形的判定：
当MN的中点为正方形对角线AC的中点时，作MN的垂直平分线，使PQ=MN=2且PQ⊥MN，此时四边形PMQN的对角线互相垂直、相等且平分，符合正方形的判定条件，因此至少存在一个这样的正方形，④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
正方形的性质；特殊四边形的判定
【点评】
本题考查正方形的性质与特殊四边形的判定，需要结合动态几何的思想，分析点的移动与特殊四边形构造的关系，对几何判定定理的灵活运用和空间想象能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
【分析】
（1）根据正方形的性质，正方形的对角线平分一组对角，∠BCD为90°，由此可直接得出∠ACB的度数；
（2）要证明△ABE≌△ADE，先利用正方形的性质得到AB=AD，对角线AC平分∠BAD即∠EAB=∠EAD，再结合公共边AE=AE，根据SAS全等判定定理即可完成证明；
（3）先借助全等三角形的性质得到∠AED=∠AEB，再通过三角形外角的性质或三角形内角和定理，结合已知角度计算出∠AEB的度数，进而得到∠AED的度数。
【解析】
（1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
故答案为：45；
（2）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠EAB=∠EAD=45°，
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠EAB=∠EAD\\AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（SAS）；
（3）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=∠ABC - ∠CBF=90°-20°=70°，
在△ABE中，∠BAE=45°，
∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-45°-70°=65°，
由（2）知△ABE≌△ADE，
∴∠AED=∠AEB=65°，
故答案为：65；
【答案】
（1）$\boldsymbol{45}$；（2）证明见上述解析；（3）$\boldsymbol{65}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定（SAS）、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查正方形的性质与全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的边角特征、全等三角形的判定定理是解题核心，第三问可灵活选择三角形内角和或外角性质求解，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
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