第82页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

分母不变，

分子相加减

 先通分，再按同分母分式的加减法法则进行计算

$ -\frac {2}{a}$

$ \frac {2}{x - y}$

$1$

$ \frac {a + b}{ab}$

C

解：原式=$ \frac {c(b + 1)}{ab^2}$

解：原式=$ \frac {R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}$

A

C

【分析】
我们可以类比分数加减运算的法则来推导分式加减的法则：首先回忆同分母分数相加减的规则是分母不变，分子相加减，由于分式与分数的运算逻辑类似，因此同分母分式相加减的法则和同分母分数一致；对于异分母的情况，分数相加减需要先通分转化为同分母分数再计算，异分母分式相加减也遵循相同思路，先通分变为同分母分式，再进行加减运算。
【解析】
根据分式加减运算的法则：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，再加减。
【答案】
分母不变，分子相加减；先通分，再加减
【知识点】
分式的加减运算法则
【点评】
本题考查分式加减运算的基础法则，通过与分数加减法则类比记忆，能更高效地掌握该知识点，它是后续复杂分式运算的核心基础，需熟练牢记。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查分式的加减运算，分同分母和异分母两种情况，解题思路如下：
1. 对于(1)(3)，属于同分母分式加减，根据“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”的法则，先计算分子的加减，再化简结果；
2. 对于(2)，观察到分母$x-y$与$y-x$互为相反数，先将分母统一为$x-y$，转化为同分母分式加法后再计算；
3. 对于(4)，属于异分母分式加法，先确定最简公分母为$ab$，将两个分式通分转化为同分母分式，再按照同分母分式加法法则计算。
【解析】
(1) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$\begin{aligned}\frac{c - 1}{a}-\frac{c + 1}{a}&=\frac{(c - 1)-(c + 1)}{a}\\&=\frac{c - 1 - c - 1}{a}\\&=-\frac{2}{a}\end{aligned}$
(2) 先将分母$y-x$转化为$-(x-y)$，再计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{x - y}-\frac{1}{y - x}&=\frac{1}{x - y}-\frac{1}{-(x - y)}\\&=\frac{1}{x - y}+\frac{1}{x - y}\\&=\frac{2}{x - y}\end{aligned}$
(3) 同分母分式相减，分子相减后化简：
$\begin{aligned}\frac{2a}{2a - b}-\frac{b}{2a - b}&=\frac{2a - b}{2a - b}\\&=1\quad(2a - b≠0)\end{aligned}$
(4) 异分母分式相加，先通分（最简公分母为$ab$），再计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}&=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\\&=\frac{a + b}{ab}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{2}{a}$；(2)$\dfrac{2}{x - y}$；(3)$1$；(4)$\dfrac{a + b}{ab}$
【知识点】
同分母分式加减法、异分母分式加减法、分式通分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，涵盖了同分母、异分母及分母互为相反数的三种常见情况，解题时需注意符号的处理和结果的化简，是对分式加减运算核心法则的直接考查，掌握法则是解题关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查异分母分式的加法运算，解题核心是掌握异分母分式加法法则：异分母分式相加，先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加。我们需要根据该法则逐一分析每个选项，判断其运算是否正确。
【解析】
根据异分母分式加法法则，对各选项逐一分析：
选项A：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$，通分后最简公分母为$ab$，分子应为$a^2 + b^2$，结果为$\frac{a^2 + b^2}{ab}$，选项中结果$\frac{b + c}{2a}$既通分错误，还出现原式未有的字母$c$，故A错误。
选项B：$\frac{c}{a}+\frac{b}{d}$，通分后最简公分母为$ad$，分子应为$cd + ab$，结果为$\frac{cd + ab}{ad}$，选项中分子错误写为$b + c$，故B错误。
选项C：$\frac{b}{a}+\frac{d}{c}$，通分取最简公分母$ac$，分子分别计算为$b· c=bc$，$d· a=ad$，相加后得$\frac{bc + ad}{ac}$，符合异分母分式加法法则，故C正确。
选项D：$\frac{b}{a}+\frac{d}{c}$，不能直接将分子、分母分别相加，这是错误的运算逻辑，不符合分式加法法则，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
异分母分式加法法则
【点评】
本题是分式加法的基础题型，易错点在于混淆分式加法与整式加法的运算逻辑，误将分子分母分别相加（如选项D），或通分过程中计算错误。解题时需严格遵循异分母分式加法的步骤，避免粗心失误。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察到两个分式的分母分别为$a-b$和$b-a$，它们互为相反数，因此第一步需要将分母化为相同形式，方便进行分式加减运算。我们可以把$b-a$转化为$-(a-b)$，这样第二个分式就可以变形为与第一个分式同分母的形式；接着将两个分式合并，分子进行减法运算，得到的分子是平方差的形式，再利用平方差公式分解因式，最后约分即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{a^{2}}{a - b}+\frac{b^{2}}{b - a}&=\frac{a^{2}}{a - b}-\frac{b^{2}}{a - b}\\&=\frac{a^{2}-b^{2}}{a - b}\\&=\frac{(a-b)(a+b)}{a - b}\\&=a+b\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
分式加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题主要考查分式的加减运算及平方差公式的应用，解题关键是正确处理分母的符号，将异分母分式转化为同分母分式，运算过程中需注意符号的变化，避免出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
对于（1），这是同分母分式的加法运算，根据同分母分式加法法则，只需保持分母不变，将分子相加即可；对于（2），这是异分母分式的加法运算，首先要确定两个分式的最简公分母为$R_{1}R_{2}$，再将两个分式通分转化为同分母分式，最后按照同分母分式加法法则计算分子相加的结果。
【解析】
（1）$\frac{c}{ab^{2}}+\frac{bc}{ab^{2}}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\frac{c + bc}{ab^{2}}$
（2）$\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$
确定最简公分母为$R_{1}R_{2}$，对两个分式通分：
$=\frac{R_{2}}{R_{1}R_{2}}+\frac{R_{1}}{R_{1}R_{2}}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}R_{2}}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{c + bc}{ab^{2}}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{R_{1} + R_{2}}{R_{1}R_{2}}}$
【知识点】
1. 同分母分式加法；2. 异分母分式加法
【点评】
本题考查分式的加法运算，核心是掌握同分母和异分母分式的加法法则。同分母分式相加直接合并分子，异分母分式相加需先通分转化为同分母分式再计算，计算时要注意通分的准确性和分子的正确变形。
【难度系数】
0.8

【分析】
要确定整式△，我们可以通过移项将△单独放在等式一侧，即△等于等式左边的式子减去等式右边已知的分式。接下来利用同分母分式的减法法则进行计算，最后化简得到结果即可。
【解析】
已知$-\frac{x}{x + 2}=\frac{2}{x + 2}+△$，移项可得：
$△ = -\frac{x}{x + 2} - \frac{2}{x + 2}$
因为两个分式分母相同，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$△ = \frac{-x - 2}{x + 2}$
对分子提取负号：
$△ = \frac{-(x + 2)}{x + 2}$
由于$x+2≠0$（分式有意义的条件），约分后得到：
$△ = -1$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减、移项求整式
【点评】
本题主要考查同分母分式的加减运算，解题关键是掌握同分母分式的减法法则，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0），整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是对凸透镜成像公式进行变形，目标是用$u$和$f$表示$v$。首先需将含$v$的项单独分离到等式一侧，然后通过通分合并右侧分式，最后对等式两边取倒数，即可得到$v$的表达式。具体思路为：先移项把$\frac{1}{u}$移到等式右边，再对右边的两个分式通分得到$\frac{1}{v}$的表达式，最后取倒数求出$v$。
【解析】
已知$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，按以下步骤变形：
1. 移项，将含$u$的项移到等式右侧：
$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}$
2. 对右侧通分，公分母为$uf$：
$\frac{1}{v}=\frac{u - f}{uf}$
3. 等式两边同时取倒数，整理得：
$v=\frac{uf}{u - f}$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式等式变形、凸透镜成像公式
【点评】
本题属于基础公式变形题，主要考查分式运算技巧与凸透镜成像公式的应用。解题关键是熟练掌握移项、通分、取倒数等分式运算步骤，注意移项时的符号变化和通分的准确性，避免运算失误。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察待求式$\frac{ab - b}{a}$，可先对其拆分化简，得到$b - \frac{b}{a}$；再结合已知条件$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，通过移项或通分的方式建立与化简后式子的联系。比如从已知等式移项得到$1 - \frac{1}{a}=\frac{2}{b}$，两边同乘$b$即可得到$b - \frac{b}{a}=2$；或者通分已知等式得到$ab = b + 2a$，进而推出$ab - b=2a$，代入待求式计算也能得到结果。
【解析】
方法一：
1. 化简待求式：
$\frac{ab - b}{a} = \frac{ab}{a} - \frac{b}{a} = b - \frac{b}{a}$
2. 处理已知条件：
由$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，移项得$1 - \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$，
两边同时乘以$b$得：$b(1 - \frac{1}{a}) = 2$，即$b - \frac{b}{a}=2$。
因此$\frac{ab - b}{a}=2$。
方法二：
1. 对已知等式通分：
由$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，通分得$\frac{b + 2a}{ab}=1$，
两边同乘$ab$得：$b + 2a = ab$。
2. 代入待求式：
移项得$ab - b = 2a$，将其代入$\frac{ab - b}{a}$得：
$\frac{ab - b}{a} = \frac{2a}{a}=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式化简求值，分式通分变形
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过对待求式化简、对已知等式变形，建立两者的关联，从而代入求解。题目侧重基础运算，需熟练掌握分式的基本运算规则，学会将未知与已知条件转化联系。
【难度系数】
0.7