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B
A
C
$x$
1
B
A
B
​$ 2 + \frac {3}{2x - 1} $​
【分析】
要判断x、y同时扩大2倍时分式值的变化，可按以下思路思考：首先将变化后的$2x$、$2y$代入原分式，得到新的分式；然后对新分式进行通分化简；最后将化简结果与原分式对比，就能得出分式值的变化情况。具体来说，先把原分式通分，再代入变化后的变量计算新分式，通过通分找到它和原分式的倍数关系。
【解析】
1. 先对原分式通分：
原分式为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，通分可得：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$
2. 将x、y替换为$2x$、$2y$，得到新分式：
$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}$
3. 对新分式通分化简：
$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}=\frac{y+x}{2xy}=\frac{1}{2}×\frac{x+y}{xy}$
4. 对比原分式$\frac{x+y}{xy}$，可知新分式的值是原分式值的$\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式加减运算
【点评】
本题主要考查分式的基本性质与分式加减运算的应用，解题核心是正确代入变化后的变量并化简，通过对比原分式和变化后的分式得出值的变化规律，属于基础题型，需熟练掌握分式的通分及运算规则。
【难度系数】
0.8
【分析】
要找出计算错误的选项，需逐个对每个选项进行分式的加减运算，思路如下：
1. 对每个选项，先统一分母：同分母分式直接合并分子，异分母分式先确定最简公分母再通分；
2. 化简合并后的分子，再约分得到最终结果；
3. 将计算结果与选项给出的结果对比，判断是否正确。
其中需特别注意分母符号的转化，比如$3-m=-(m-3)$、$y^2-x^2=-(x^2-y^2)$，这是容易出错的地方。
【解析】
我们逐个计算各选项：
选项A：
$\frac{12}{m^2-9}+\frac{2}{3-m}=\frac{12}{(m+3)(m-3)}+\frac{2}{-(m-3)}$
$=\frac{12}{(m+3)(m-3)}-\frac{2}{m-3}$
$=\frac{12}{(m+3)(m-3)}-\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{12-2(m+3)}{(m+3)(m-3)}=\frac{12-2m-6}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6-2m}{(m+3)(m-3)}=\frac{-2(m-3)}{(m+3)(m-3)}=-\frac{2}{m+3}$
与选项A给出的$\frac{2}{m+3}$不符，计算错误。
选项B：
$\frac{2x}{x^2-y^2}+\frac{x-2y}{y^2-x^2}+\frac{y}{y^2-x^2}=\frac{2x}{x^2-y^2}-\frac{x-2y}{x^2-y^2}-\frac{y}{x^2-y^2}$
$=\frac{2x-(x-2y)-y}{x^2-y^2}=\frac{2x-x+2y-y}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}$
与选项B结果一致，计算正确。
选项C：
$\frac{a}{a-b}+\frac{3a}{a-b}-\frac{4b}{a-b}=\frac{a+3a-4b}{a-b}=\frac{4a-4b}{a-b}$
$=\frac{4(a-b)}{a-b}=4$
与选项C结果一致，计算正确。
选项D：
最简公分母为$12a^2b^2c$，通分计算：
$\frac{5}{6a^2b}-\frac{2}{3ab^2}+\frac{3}{4abc}=\frac{5×2bc}{12a^2b^2c}-\frac{2×4ac}{12a^2b^2c}+\frac{3×3ab}{12a^2b^2c}$
$=\frac{10bc-8ac+9ab}{12a^2b^2c}$
与选项D结果一致，计算正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，通分与约分
【点评】
本题考查分式的加减运算，核心是正确处理分母符号、准确通分及分子化简。同分母分式直接合并分子，异分母分式需先确定最简公分母再通分，符号转化是易出错的关键点，需格外注意。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断代数式A与B的关系，首先需要对B进行化简。因为B是两个分式的差，先确定最简公分母为$(a-1)(a+1)$（即$a^2-1$），通过通分计算出B的最简形式，再与A的表达式进行对比，即可得出两者的关系。
【解析】
先化简B：
$\begin{aligned}B&=\frac{1}{a - 1}-\frac{1}{a + 1}\\&=\frac{(a+1)-(a-1)}{(a-1)(a+1)}\\&=\frac{a+1 -a +1}{a^2 -1}\\&=\frac{2}{a^2 -1}\end{aligned}$
已知$A=\frac{2}{a^2 -1}$，因此$A = B$。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算、分式化简
【点评】
本题主要考查分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式通分的方法，准确化简B后与A对比。题目侧重基础运算能力的考查，需注意分式有意义的条件（$a≠±1$），但该条件不影响两者的关系判断。
【难度系数】
0.8
【分析】
这是一道同分母分式减法运算题，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母相同，均为$x-1$，根据同分母分式的减法法则，分母保持不变，只需将分子相减；然后对相减后的分子进行因式分解，再与分母约分，即可得到最简结果，同时需注意分式分母不为0的隐含条件（$x≠1$）。
【解析】
解：$\frac{x^{2}}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}$
$=\frac{x^{2}-x}{x - 1}$（同分母分式相减，分母不变，分子相减）
$=\frac{x(x - 1)}{x - 1}$（对分子提取公因式$x$进行因式分解）
$=x$（约去分子分母的公因式$x-1$，$x≠1$）
【答案】
$x$
【知识点】
同分母分式减法，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握同分母分式的减法法则，以及利用因式分解进行分式约分的方法，运算时要留意分母不为0的限制条件，保证结果的合理性。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先，我们的目标是求$\frac{ab - a}{a + b}$的值，已知条件是$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，所以需要先将已知等式变形，得到$ab$与$a$、$b$的关系式，再整体代入到所求式子中化简。具体思路为：先对已知分式等式通分，得到分子相等的等式，进而推出$ab=2a+b$；然后把$ab$替换成$2a+b$代入所求式子的分子，化简后发现分子和分母相同，结合$a≠ - b$的条件，约分即可得到结果。
【解析】
1. 对已知等式$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$通分：
$\frac{b + 2a}{ab}=1$，
因为$a$、$b$作为分母，所以$a≠0$，$b≠0$，两边同乘$ab$得：
$b + 2a = ab$，即$ab=2a+b$。
2. 将$ab=2a+b$代入$\frac{ab - a}{a + b}$：
分子$ab - a=(2a+b)-a=a+b$，
则原式变为$\frac{a+b}{a+b}$。
3. 因为题目给出$a≠ - b$，所以$a+b≠0$，约分可得：
$\frac{a+b}{a+b}=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式通分变形，分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题主要考查分式的变形与化简求值，核心是利用整体代入思想，将已知条件转化为$ab$与$a$、$b$的关系式，再代入所求式子化简计算。解题时需注意分母不为零的限制条件，题目已给出$a≠ - b$，确保约分有意义。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断嘉嘉和淇淇的结论是否正确，需分别对两个结论进行验证：
1. 先计算$M - N$的表达式，通过通分、化简分析当$x＞0$时$M - N$的符号，验证嘉嘉的结论；
2. 将$x = 2$分别代入$M$和$N$的表达式，计算出具体值后比较大小，验证淇淇的结论。
【解析】
1. 计算$M - N$：
$\begin{aligned}M - N&=\frac{x + 2}{2}-\frac{4x}{x + 2}\\&=\frac{(x + 2)^2 - 8x}{2(x + 2)}\\&=\frac{x^2 + 4x + 4 - 8x}{2(x + 2)}\\&=\frac{x^2 - 4x + 4}{2(x + 2)}\\&=\frac{(x - 2)^2}{2(x + 2)}\end{aligned}$
2. 验证嘉嘉的结论：
当$x＞0$时，分母$2(x + 2)＞0$，分子$(x - 2)^2≥0$。
当$x = 2$时，$(x - 2)^2 = 0$，此时$M - N = 0$，即$M = N$，并非$M - N＞0$，因此嘉嘉的结论错误。
3. 验证淇淇的结论：
当$x = 2$时，
$M=\frac{2 + 2}{2}=2$，
$N=\frac{4×2}{2 + 2}=\frac{8}{4}=2$，
可得$M = N$，因此淇淇的结论正确。
综上，嘉嘉错，淇淇对，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的减法运算，代数式求值
【点评】
本题主要考查分式的运算及代数式求值，解题关键是正确化简$M - N$，注意分析特殊值对结果的影响，避免因忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决本题，我们可以按以下思路推进：首先将等式右侧的两个分式通分合并，转化为与左侧分母一致的分式；再依据“分母相同的分式相等时，分子对应系数相等”的规则，构建关于M、N的方程组；最后可借助平方差公式直接计算$M^2-N^2$，或先求解M、N的值再代入运算。
【解析】
1. 对等式右侧分式通分合并
$\frac{M}{a - 1}+\frac{N}{a + 1}=\frac{M(a+1)+N(a-1)}{(a-1)(a+1)}$
展开并整理分子：
$\frac{Ma+M+Na-N}{a^2-1}=\frac{(M+N)a+(M-N)}{a^2-1}$
2. 根据分式相等条件列方程组
已知$\frac{3a - 1}{a^2-1}=\frac{(M+N)a+(M-N)}{a^2-1}$，由于分母相同，分子需对应相等，因此可得：
$\begin{cases}M+N=3\\M-N=-1\end{cases}$
3. 计算$M^2-N^2$
利用平方差公式$M^2-N^2=(M+N)(M-N)$，代入方程组的结果：
$M^2-N^2=3×(-1)=-3$
【答案】
A
【知识点】
分式通分，多项式相等条件，平方差公式
【点评】
本题聚焦分式加减运算与代数变形，核心考点是利用分式相等的性质建立方程组求解。灵活运用平方差公式可简化计算流程，规避单独求解M、N的繁琐步骤，有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6
【分析】
要比较上学和放学的总时间，首先平路部分上学与放学的路程、速度均相同，因此平路所用时间一致，无需考虑，只需聚焦上下坡路段的时间差异。我们可以通过设未知数的方式，明确上学、放学时上下坡的路程与速度，再根据行程问题的基本公式计算时间，最后比较大小即可。
【解析】
设下坡路程为$ s $，则上坡路程为$ 3s $；设上坡速度为$ v $，则下坡速度为$ 2v $。
1. 计算上学时上下坡的总时间：
上学时，上坡路程为$ 3s $，速度为$ v $，根据$ t=\frac{s}{v} $，上坡时间为$ \frac{3s}{v} $；下坡路程为$ s $，速度为$ 2v $，下坡时间为$ \frac{s}{2v} $。
上下坡总时间：$ t_{上学} = \frac{3s}{v} + \frac{s}{2v} = \frac{6s}{2v} + \frac{s}{2v} = \frac{7s}{2v} $。
2. 计算放学时上下坡的总时间：
放学时，原上坡路变为下坡路，原下坡路变为上坡路，即上坡路程为$ s $，速度为$ v $，上坡时间为$ \frac{s}{v} $；下坡路程为$ 3s $，速度为$ 2v $，下坡时间为$ \frac{3s}{2v} $。
上下坡总时间：$ t_{放学} = \frac{s}{v} + \frac{3s}{2v} = \frac{2s}{2v} + \frac{3s}{2v} = \frac{5s}{2v} $。
3. 比较时间大小：
因为$ \frac{7s}{2v} ＞ \frac{5s}{2v} $，且平路时间相同，所以放学回家的总时间更少。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本公式、分式大小比较
【点评】
本题考查行程问题中路程、速度、时间的关系，核心是通过设未知数简化计算，明确上学与放学时上下坡路程的转换，排除平路的干扰，只需比较上下坡的时间差即可得出结论，考验对基本公式的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
要将“赋整分式”$\frac{4x + 1}{2x - 1}$化为整数与分子为常数的分式的和的形式，关键是把分子变形为含有分母的整式与常数的和。观察分母为$2x-1$，可将分子$4x+1$拆分为$2(2x-1)+3$（因为$2(2x-1)=4x-2$，$4x-2+3=4x+1$），随后将分式拆分为两项，约分后即可得到整数加分式的形式。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{4x + 1}{2x - 1}&=\frac{2(2x - 1) + 3}{2x - 1}\\&=\frac{2(2x - 1)}{2x - 1}+\frac{3}{2x - 1}\\&=2+\frac{3}{2x - 1}\end{aligned}$
【答案】
$2+\frac{3}{2x - 1}$
【知识点】
分式的恒等变形、拆分分式
【点评】
本题考查对“赋整分式”新定义的理解与应用，核心是掌握将分子凑成分母的倍数来拆分分式的方法，通过对分子进行合理变形，利用分式的基本性质完成拆分，注重对分式变形能力的考查，难度不大，可通过模仿示例快速求解。
【难度系数】
0.8
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