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$\sqrt{ab}$
$a\geq0，$$b\geq0$
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$（$a\geq0，$$b\geq0$）
√

×
5
×
$\frac{\sqrt{17}}{2}$
×
$2\sqrt{6}$
D
A
解：原式​$=\sqrt {27×8}$​
​$=6\sqrt {6}$​
解：原式​$=6\sqrt {2}×3\sqrt {2}$​
​$=18×2$​
​$=36$​
解：原式​$=4\sqrt {3}×x\sqrt {x}×y²$​
​$=4xy²\sqrt {3x}$​
$\sqrt{3}$
7
$-\sqrt{-a}$
A
B
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式的相关概念：二次根式$\sqrt{x}$有意义的前提是被开方数$x≥0$。对于二次根式的乘法运算，我们可以从定义出发推导性质：两个非负实数的算术平方根的乘积，等于它们乘积的算术平方根，即$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。同时要保证原式中的两个二次根式都有意义，所以$a$和$b$都必须满足非负的条件。
【解析】
根据二次根式乘法的性质，两个二次根式相乘，将被开方数相乘，根号保持不变，因此$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$；
由于二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以要使$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$都有意义，需满足$a≥0$且$b≥0$。
【答案】
$\sqrt{ab}$，$a≥ 0$且$b≥ 0$
【知识点】
二次根式乘法性质、二次根式有意义条件
【点评】
本题考查二次根式乘法的基本性质，是二次根式运算的基础内容。需特别注意性质成立的前提条件，只有当两个被开方数均为非负数时，该乘法性质才适用，这是容易忽略的关键点。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先回忆二次根式乘法的性质，二次根式乘法的性质是两个非负数的算术平方根的乘积等于它们乘积的算术平方根，即$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。题目要求把这个性质反过来，也就是将等式左右两边交换位置，同时要保留成立的条件，因为只有当$a$和$b$都是非负数时，二次根式才有意义，所以反过来得到对应的式子及条件。
【解析】
二次根式乘法的性质为：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），将其左右两边交换位置，可得$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，其中$a≥ 0$且$b≥ 0$。
【答案】
$\sqrt{ab}=\sqrt{a}· \sqrt{b}$（$a≥ 0$且$b≥ 0$）
【知识点】
二次根式乘法性质
【点评】
本题考查二次根式乘法性质的逆用，核心是牢记性质内容及成立的前提条件，明确只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，不能遗漏条件。
【难度系数】
0.8
【分析】
1. 对于（1），思考二次根式乘法法则的适用条件：当被开方数是两个非负数的乘积时，可拆分为两个二次根式的乘积。25和3均为非负数，符合法则，因此可按步骤计算判断正误。
2. 对于（2），需明确二次根式没有“根号内的和等于和的根号”的法则，应先计算根号内的平方和，再开方得到结果，对比原式错误的拆分方法判断正误。
3. 对于（3），带分数是整数与分数的和，不能直接拆分为两个数的乘积进行根式运算，需先将带分数化为假分数，再利用二次根式的除法法则计算，据此判断原式错误并给出正确结果。
4. 对于（4），算术平方根的结果具有非负性，$\sqrt{(-2)^2}$的结果是2而非-2，结合二次根式乘法法则计算正确结果，判断原式符号错误。
【解析】
（1）根据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），
因为$25≥0$，$3≥0$，所以$\sqrt{25 × 3} = \sqrt{25} × \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$，运算正确，打“√”。
（2）先计算根号内的式子：$3^2+4^2=9+16=25$，
则$\sqrt{3^{2} + 4^{2}}=\sqrt{25}=5$，原式错误使用拆分法则，打“×”，正确结果为5。
（3）先将带分数化为假分数：$4\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$，
则$\sqrt{4\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$，原式错误拆分带分数，打“×”，正确结果为$\frac{\sqrt{17}}{2}$。
（4）根据二次根式乘法法则：$\sqrt{(-2)^{2} × 6} = \sqrt{(-2)^{2}} × \sqrt{6}$，
因为$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，所以结果为$2\sqrt{6}$，原式忽略算术平方根的非负性，打“×”，正确结果为$2\sqrt{6}$。
【答案】
（1）√ （2）×，5 （3）×，$\frac{\sqrt{17}}{2}$ （4）×，$2\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式运算；算术平方根性质；带分数根式转化
【点评】
本题聚焦二次根式的基础运算，易错点集中在错误运用根式拆分法则、忽略算术平方根的非负性、错误处理带分数的根式运算。通过这类题目，能强化对二次根式核心法则和算术平方根性质的理解，帮助学生规避常见运算误区。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断每个选项的运算是否正确，需依据二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），对每个选项逐一计算验证，排除错误选项后得到正确答案。具体思路如下：
1. 对选项A，利用法则计算$\sqrt{2}·\sqrt{3}$的结果，与$\sqrt{5}$对比；
2. 对选项B，先计算$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{27}}$，再与9相乘，判断结果是否为$\sqrt{3}$；
3. 对选项C，计算$\sqrt{6}×\sqrt{2}$的化简结果，与12对比；
4. 对选项D，计算$\sqrt{24}·\sqrt{\frac{3}{2}}$的结果，与6对比。
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），对各选项逐一计算：
选项A：$\sqrt{2}·\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，故A错误；
选项B：$9\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{27}}=9×\sqrt{3×\frac{1}{27}}=9×\sqrt{\frac{1}{9}}=9×\frac{1}{3}=3≠\sqrt{3}$，故B错误；
选项C：$\sqrt{6}×\sqrt{2}=\sqrt{6×2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}≠12$，故C错误；
选项D：$\sqrt{24}·\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{24×\frac{3}{2}}=\sqrt{36}=6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法
【点评】
本题考查二次根式乘法法则的应用，解题核心是熟练掌握法则并准确计算，计算时需注意将结果化为最简形式，避免因计算失误或化简不彻底导致判断错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
要确定使等式$\sqrt{x(x - 1)} = \sqrt{x} · \sqrt{x - 1}$成立的$x$的取值范围，需结合二次根式有意义的条件及二次根式乘法法则的适用条件分析：
1. 二次根式有意义的核心是被开方数为非负数；
2. 等式右边是两个二次根式相乘，根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$的成立条件，需保证$\sqrt{x}$和$\sqrt{x-1}$各自有意义，即两个被开方数均非负；
3. 仅满足左边被开方数非负无法保证右边两个二次根式都有意义，因此需同时满足右边两个二次根式的被开方数非负，再取交集得到$x$的范围。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），要使等式$\sqrt{x(x - 1)} = \sqrt{x} · \sqrt{x - 1}$成立，需满足：
$\begin{cases}x≥0 \\x - 1≥0\end{cases}$
解不等式$x - 1≥0$，得$x≥1$；
结合$x≥0$，两个不等式解集的交集为$x≥1$。
因此$x$的取值范围是$x≥1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的乘法法则
【点评】
本题主要考查二次根式乘法法则的适用条件，易错点是仅考虑左边被开方数非负或单个二次根式的有意义条件，错选$x≥0$。解题时需明确：多个二次根式同时存在时，每个二次根式的被开方数都需满足非负性，最终取所有条件的交集。
【难度系数】
0.6
【分析】
本题考查二次根式的化简与乘法运算，解题核心是利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）和积的算术平方根性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），将被开方数分解为能开得尽方的因数或因式的乘积，再把能开方的部分开出来。
（1）对于$\sqrt{27}×\sqrt{8}$，可先利用二次根式乘法法则合并为一个根号，或先分别化简每个二次根式再相乘，最终将结果化为最简二次根式；
（2）$\sqrt{72×18}$，可先计算被开方数的乘积，再开平方，也可先分别化简$\sqrt{72}$和$\sqrt{18}$再相乘，注意结果要化为整数；
（3）$\sqrt{48x^{3}y^{4}}$（$x≥0$，$y≥0$），需将被开方数分解为$16×3×x^{2}×x×(y^{2})^{2}$，再利用积的算术平方根性质拆分，结合字母的非负性开方，得到最简形式。
【解析】
（1）$\sqrt{27} × \sqrt{8}$
$=\sqrt{27×8}$（二次根式乘法法则：$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0$，$b≥0$）
$=\sqrt{216}$
$=\sqrt{36×6}$（将216分解为能开得尽方的因数36与6的乘积）
$=\sqrt{36}×\sqrt{6}$（积的算术平方根性质）
$=6\sqrt{6}$
（2）$\sqrt{72 × 18}$
$=\sqrt{72×18}$
$=\sqrt{1296}$（计算被开方数的乘积：$72×18=1296$）
$=36$（因为$36^2=1296$）
（3）$\sqrt{48x^{3}y^{4}}$（$x ≥ 0$，$y ≥ 0$）
$=\sqrt{16×3×x^{2}×x×(y^{2})^{2}}$（分解被开方数为能开得尽方的因式乘积）
$=\sqrt{16}×\sqrt{x^{2}}×\sqrt{(y^{2})^{2}}×\sqrt{3x}$（积的算术平方根性质）
$=4×x×y^{2}×\sqrt{3x}$（由$x≥0$，$y≥0$，得$\sqrt{x^{2}}=x$，$\sqrt{(y^{2})^{2}}=y^{2}$）
$=4xy^{2}\sqrt{3x}$
【答案】
（1）$6\sqrt{6}$；（2）$36$；（3）$4xy^{2}\sqrt{3x}$
【知识点】
二次根式的乘法、二次根式的化简、积的算术平方根性质
【点评】
本题是二次根式的基础化简题，重点考查二次根式乘法法则和积的算术平方根性质的应用。解题时需注意：①被开方数要分解为能开得尽方的因数或因式；②当被开方数含有字母时，要结合字母的取值范围确定开方结果；③最终结果必须是最简二次根式或整式。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先先化简二次根式$\sqrt{12}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。题目要求$\sqrt{12}×m$的结果为正整数，也就是$2\sqrt{3}×m$是正整数。我们需要找到$m$，使得$2\sqrt{3}$与$m$相乘后消去根号，且乘积为正整数。比如当$m=\sqrt{3}$时，$2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×3=6$，6是正整数，满足条件；当然$m$也可以是$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$2\sqrt{3}$等，只要符合要求即可。
【解析】
1. 化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
2. 要使$2\sqrt{3}×m$为正整数，取$m=\sqrt{3}$，则：
$2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×(\sqrt{3})^2=2×3=6$，6是正整数，满足条件。
因此$m$的值可以是$\sqrt{3}$（答案不唯一）。
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式化简、二次根式的乘法
【点评】
本题考查二次根式的运算，核心是先化简二次根式，再根据乘积为正整数的条件确定$m$的取值。答案具有开放性，只要能使化简后的二次根式与$m$的乘积为正整数即可，考查学生对二次根式运算的灵活掌握程度。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，核心思路是让被开方数$28n$成为完全平方数，因为只有完全平方数的算术平方根才是整数。首先将28分解质因数：$28=2^2×7$，则$\sqrt{28n}=\sqrt{2^2×7n}$，其中$2^2$是完全平方数，开方后为整数，因此剩余的$7n$必须也是完全平方数。完全平方数的质因数指数均为偶数，当前7的指数是1，所以$n$至少需要补充一个7，使7的指数变为2，此时$7n=7^2$是完全平方数，且$n$为整数，故$n$的最小值为7。
【解析】
1. 分解28的质因数：
$28 = 2^2×7$，因此$\sqrt{28n} = \sqrt{2^2×7n}$。
2. 分析被开方数为完全平方数的条件：
因为$\sqrt{28n}$是整数，所以$2^2×7n$必须是完全平方数。其中$2^2$是完全平方数，因此$7n$也需为完全平方数。
3. 确定$n$的最小值：
完全平方数的质因数指数均为偶数，7的当前指数为1，所以$n$至少包含一个质因数7，使得$7n=7^2$（指数变为偶数），又因为$n$是整数，故整数$n$的最小值是7。
【答案】
7
【知识点】
二次根式的化简；完全平方数的性质
【点评】
本题考查二次根式为整数的条件，需结合质因数分解与完全平方数的性质求解。解题关键是将被开方数拆解为完全平方数与剩余部分的乘积，通过补充质因数使剩余部分成为完全平方数，属于基础题型，侧重对概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先需确定字母$a$的取值范围：根据二次根式有意义的条件，根号内的式子必须非负，即$-\frac{1}{a} ≥ 0$，且分母$a ≠ 0$，由此可得$a ＜ 0$。接下来，由于$a$是负数，直接将其移入根号会改变符号，因此要先把$a$转化为带负号的绝对值形式（即$a = -\sqrt{a^2}$，因为$a＜0$时$\sqrt{a^2}=|a|=-a$），再利用二次根式的乘法法则$\sqrt{m} · \sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0$，$n≥0$）进行计算，最后化简得到结果。
【解析】
1. 确定$a$的取值范围：
由二次根式有意义的条件，得$-\frac{1}{a} ≥ 0$且$a ≠ 0$，
解得$a ＜ 0$。
2. 将根号外的因式化入根号内：
因为$a ＜ 0$，所以$a = -\sqrt{a^2}$，
则原式$a\sqrt{-\frac{1}{a}} = -\sqrt{a^2} · \sqrt{-\frac{1}{a}}$，
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m} · \sqrt{n} = \sqrt{mn}$（$m≥0$，$n≥0$），
可得：
$ -\sqrt{a^2 · (-\frac{1}{a})} = -\sqrt{-a} $
【答案】
$-\sqrt{-a}$
【知识点】
二次根式有意义的条件、二次根式的乘法法则
【点评】
本题考查二次根式的性质与化简，核心是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，避免忽略符号问题直接移入根号导致错误。在处理根号外的负因式时，需先保留负号，再将其绝对值平方后移入根号内，保证结果的正确性。
【难度系数】
0.4
【分析】
首先要明确二次根式有意义的条件：根号内的被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围；再根据二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为根号下两数相乘的形式；接着计算根号内的乘积，化简二次根式时，要注意利用绝对值的性质，结合a的取值范围去掉绝对值符号，最终得到化简结果。
【解析】
1. 确定a的取值范围：
要使$\sqrt{-2a}$和$\sqrt{-8a}$有意义，需满足：
$\begin{cases}-2a ≥ 0 \\ -8a ≥ 0\end{cases}$，解得$a ≤ 0$。
2. 利用二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{-2a} · \sqrt{-8a} = \sqrt{(-2a)×(-8a)} = \sqrt{16a^2}$
3. 化简二次根式：
$\sqrt{16a^2} = |4a|$，因为$a ≤ 0$，所以$|4a| = -4a$。
因此，化简结果为$-4a$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的乘法法则；二次根式有意义的条件；绝对值的化简
【点评】
本题考查二次根式的运算，核心是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，这是避免符号错误的关键。化简$\sqrt{a^2}$时，需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合字母的正负性去绝对值，这是学生容易出错的地方。
【难度系数】
0.5
【分析】
要解决这道题，我们的思路是先将$\sqrt{20}$利用二次根式的乘法法则进行分解，再结合已知的$a = \sqrt{2}$、$b = \sqrt{10}$，将分解后的式子替换为含$a$、$b$的代数式，最后对比选项得出答案。具体来说，回忆二次根式乘法法则$\sqrt{m × n} = \sqrt{m} × \sqrt{n}$（$m≥0$，$n≥0$），把$\sqrt{20}$拆成$\sqrt{2 × 10}$，就能用已知的$a$和$b$表示了。
【解析】
已知$a = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{10}$，根据二次根式的乘法法则：
$\sqrt{20} = \sqrt{2 × 10} = \sqrt{2} × \sqrt{10}$
将$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{10}=b$代入上式，可得：
$\sqrt{20} = a × b = ab$
因此符合要求的代数式是$ab$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的乘法运算。解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则，将待求二次根式分解为已知二次根式的乘积形式，进而用给定字母表示，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.9
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