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解：

$ (1) CH$是从村庄$C$到河边的最短路线，理由如下：

$ $在$△ CHB$中，$CH=2.4，$$BH=1.8，$$BC=3$

∵$2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9，$$3^2 = 9$

∴$CH^2 + BH^2 = BC^2，$

∴根据勾股定理的逆定理，$△ CHB$是直角三角形，

$∠ CHB = 90°$

∴$CH⊥ AB，$

∴根据垂线段最短，$CH$是从村庄$C$到河边的最短路线

$ (2) $设$AC = x\mathrm {km}，$

∵$AB=AC，$

∴$AB = x\mathrm {km}，$$AH = AB - BH = (x - 1.8)\mathrm {km}$

$ $在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得：

$ AC^2 = AH^2 + CH^2$

$ $即$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$

$ x^2 = x^2 - 3.6x + 3.24 + 5.76$

$ 3.6x = 9，$

解得$x = 2.5$

答：原来的路线$AC$的长为$2.5\ \mathrm {km}$

 解：

 (1) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：

 根据网格，计算各边的平方：

 $AB^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

 $AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

 $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

 ∵$AB^2 + AC^2 = 5 + 20 = 25 = BC^2，$

∴根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形

 (2) ∵$△ ABC$的面积

$S = \frac{1}{2}AB × AC = \frac{1}{2} × \sqrt{5} × 2\sqrt{5} = 5$

 又$S = \frac{1}{2}BC × AD，$$BC=5，$

∴$\frac{1}{2} × 5 × AD = 5，$

解得$AD=2$

 (3) 点$E$的位置有两种情况：

 情况一：当$BE=CE$时，$BE=2\sqrt{5}；$

 情况二：当$BC=BE$时，$BE=5；$

 ∴$BE$的长为$2\sqrt{5}$或5