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解：
​$ \begin {aligned}&\frac {2\ \mathrm {m^2}-\mathrm {m^3}}{\mathrm {m^2}+4-4m}÷(\frac {9}{3-m}-m-3)\\=&\frac {\mathrm {m^2}(2-m)}{(m-2)^2}÷(\frac {9}{3-m}-\frac {(m+3)(3-m)}{3-m})\\=&\frac {\mathrm {m^2}(2-m)}{(2-m)^2}÷\frac {9-(9-\mathrm {m^2})}{3-m}\\=&\frac {\mathrm {m^2}}{2-m}÷\frac {\mathrm {m^2}}{3-m}\\=&\frac {\mathrm {m^2}}{2-m}·\frac {3-m}{\mathrm {m^2}}\\=&\frac {m-3}{m-2}\end {aligned}$​
∵​$m $​是两边长为​$2$​和​$3$​的三角形第三边的长，
∴​$3-2＜m＜3+2，$​即​$1＜m＜5，$​
又​$m $​是整数，
∴​$m=2，3，4。$​
又分式有意义，故​$m≠2，3，$​则​$m=4。$​
∴原式​$=\frac {4-3}{4-2}=\frac {1}{2}$​
解：​$(1) $​设该厂每天生产乙种文创产品​$x$​个，则每天生产甲种文创产品​$(x+50)$​个。
​$ \begin {aligned}3(x+50)-4x&=100\\3x+150-4x&=100\\x &=-50\\x &=50\end {aligned}$​
​$ $​则​$x+50=50+50=100$​
答：该厂每天生产甲种文创产品​$100$​个，乙种文创产品​$50$​个。
​$ (2) $​设每天生产的乙种文创产品增加的数量是​$y$​个，则甲种文创产品增加的数量是​$2y$​个。
​$ \frac {1400}{50+y}-\frac {1400}{100+2y}=10$​
​$y=20$​
经检验，​$y=20$​是所列方程的解，且符合题意。
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是​$20$​个。
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