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$ C$

$30°$或$150°$

解：$(1) $如图，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求

$ (2) $以$B，C_{1}，B_{1}，C$为顶点的四边形的面积为：

$ 10×8 - 2×\frac {1}{2}×2×4 - 2×\frac {1}{2}×4×8 = 40$

$ (3) $如图，点$E$即为所求

解：因为$E$是$BC$的中点，

所以$BE=\frac {1}{2}BC=2。$

由旋转的性质，可得$BE_{1}=BE=2，$$A_{1}B=AB=6，$$∠ A_{1}BE_{1}=∠ ABE=90°。$

$ ①$当点$A_{1}$在射线$BC$上时，$AE_{1}=AB+BE_{1}=8，$

$ $所以$S_{△ AA_{1}E_{1}}=\frac {1}{2}AE_{1}· A_{1}B=\frac {1}{2}×8×6=24；$

$ ②$当点$A_{1}$在射线$CB$上时，$AE_{1}=AB-BE_{1}=4，$

$ $所以$S_{△ AA_{1}E_{1}}=\frac {1}{2}AE_{1}· A_{1}B=\frac {1}{2}×4×6=12。$

综上所述，$△ AA_{1}E_{1}$的面积为$24$或$12。$