解:$(1) $因为$l_{1}$是$AB$边的垂直平分线,
所以$DA=DB。$
$ $因为$l_{2}$是$AC$边的垂直平分线,
所以$EA=EC。$
$ $因为$△ ADE$的周长为$8\ \mathrm {cm},$
所以$BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8\ \mathrm {cm}。$
$ (2) $因为$l_{1}$是$AB$边的垂直平分线,
所以$OA=OB。$
$ $因为$l_{2}$是$AC$边的垂直平分线,
所以$OA=OC,$
$ $所以$OB=OC。$
$ (3) $因为$△ OBC$的周长为$18\ \mathrm {cm},$
所以$OB+OC+BC=18\ \mathrm {cm}。$
$ $因为$BC=8\ \mathrm {cm},$
所以$OB=OC=5\ \mathrm {cm}。$
$ $因为$OA=OB,$
所以$OA=5\ \mathrm {cm}。$