解：$(2) $∵$AD = 8，$$DC = 6，$当$t = 10$时，
点$P $运动到线段$DC$上，$DP = 10 - 8 = 2，$
∴$PC = 6 - 2 = 4，$
∴$P(8，$$4)，$
故点$P $的坐标为$(8，$$4).$
$(3) $
在长方形$AOCD$中，
∵$AD = 8，$$DC = 6，$
∴$OC = AD = 8，$$AO = CD = 6.$
∵点$M$是边$AO$的中点$，$
∴$OM = AM=\frac {1}{2}AO = 3，$
∴$S_{△ MOC}$
$=\frac {1}{2}OM· OC$
$=\frac {1}{2}×3×8 = 12，$
当点$P $位于$AD$上时，如图$(1)，$$0≤ t≤8.$
∵$AP = t，$$DP = 8 - t，$
∴$S_{△ AMP}$
$=\frac {1}{2}AM· AP$
$=\frac {1}{2}×3× t$
$=\frac {3}{2}t，$
$S_{△ PCD}$
$=\frac {1}{2}DC· PD$
$=\frac {1}{2}×6×(8 - t)$
$=24 - 3t，$
∴$S_{△ PMC}$
$=S_{长方形AOCD}-S_{△ AMP}-S_{△ MOC}-S_{△ PCD}$
$=6×8-\frac {3}{2}t - 12-(24 - 3t)$
$=\frac {3}{2}t + 12.$
当点$P $位于$DC$上时，如图$(2)，$$8＜ t＜14$
∵$AD = 8，$$DP = t - 8，$
∴$PC = 6-(t - 8)=14 - t，$
∴$S_{△ PMC}$
$=\frac {1}{2}PC· OC$
$=\frac {1}{2}×(14 - t)×8$
$=-4t + 56.$
综上所述，当$≤ t≤8$时，
$S=\frac {3}{2}t + 12$
当$8＜ t＜14$时，$S=-4t + 56.$
$(4)t $的值为$ \frac {8}{3} $或$ 10 。$
