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证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​为正方形，
∴​$AD=BC， BC// AD， $​
∴​$∠ ADE=∠ CBF.$​
​$ $​在​$△ ADE$​和​$△ CBF_{中}，$​
​$\begin {cases}AD=CB\\∠ ADE=∠ CBF\\DE=BF，\end {cases}$​
∴​$△ ADE≌△ CBF(\mathrm {SAS}).$​
​$ (2)$​连接​$AC$​交​$BD$​于点​$O，$​如答图.
∵四边形​$ABCD$​为正方形，​$BD=10，$​
∴​$BD$​垂直平分​$AC， OA=OC=OB=OD=\frac {1}{2}BD=5，$​
∴​$AF=CF， AE=CE.$​
​$ $​由​$ (1)$​可知​$△ ADE≌△ CBF， $​
∴​$AE=CF，$​
∴​$AF=CF=AE=CE，$​
∴四边形​$AECF $​是菱形，
∴​$OF=OE， $​
∴​$EF=2OF.$​
∵四边形​$AECF $​的周长为​$4AF=4\sqrt {34}， $​
∴​$AF=\sqrt {34}.$​
​$ $​在​$Rt△ AOF_{中}，$​由勾股定理，得​$OF=\sqrt {AF^2-OA^2}=\sqrt {(\sqrt {34})^2-5^2}=3， $​
∴​$EF=2OF=6，$​
​$ $​即​$EF $​的长为​$6.$​
证明：(1)$∵$ 四边形$ABCD$为正方形，
$∴AB=AD, ∠ BAD=∠ B=∠ ADC=90°，$
$∴∠ ADF=90°.$
$∵∠ EAF=90°，$
$∴∠ EAD+∠ FAD=90°, ∠ EAD+∠ BAE=90°.$
$∴∠ BAE=∠ DAF.$
在$△ ABE$和$△ ADF$中，$\begin{cases}∠ BAE=∠ DAF, \\AB=AD, \\∠ ABE=∠ ADF,\end{cases}$
$∴△ ABE≌△ ADF(\mathrm{ASA}). ∴BE=DF.$
(2)$∵△ ABE≌△ ADF, ∴AE=AF.$
$∵∠ EAF$的平分线交$CD$于点$G，$
$∴∠ EAG=∠ FAG.$
在$△ AEG$和$△ AFG$中，$\begin{cases}AE=AF, \\∠ EAG=∠ FAG, \\AG=AG,\end{cases}$
$∴△ AEG≌△ AFG(\mathrm{SAS}). ∴GE=GF.$
$∵GF=DG+DF，$而$BE=DF, ∴BE+DG=EG.$
解：​$(1)$​如答图，过点​$M$​作​$ME⊥ x$​轴于点​$E，$​则​$∠ PEM=∠ COP=90°.$​
∵​$PM⊥ CP， $​
∴​$∠ CPM=90°.$​
∴​$∠ OPC+∠ MPE=∠ MPE+∠ PME=90°.$​
∴​$∠ OPC=∠ PME.$​
又∵​$PM=CP， $​
∴​$△ OPC≌△ EMP(\mathrm {AAS}).$​
∴​$ME=OP=t， PE=OC=4， $​
∴​$OE=t+4， $​
∴​$M(t+4， t).$​
​$ (2)MN$​的长为定值，​$MN=4.$​理由：
∵​$MN// OA， $​
∴​$N$​点的纵坐标为​$t.$​
又∵​$N$​点在第一象限角平分线​$OB$​上，
∴​$N(t， t)，$​
∴​$MN=t+4-t=4.$​
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