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证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是正方形，点​$E$​在对角线​$BD$​上，
∴​$AB=CB，$​​$∠ ABE=∠ CBE.$​
又∵​$BE=BE，$​
∴​$△ ABE≌△ CBE(\mathrm {SAS}).$​
​$(2)$​∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$∠ BAD=90°，$​​$∠ ADB=45°.$​
∵​$DE=DA，$​
∴​$∠ DAE=∠ DEA，$​
∴​$∠ DAE+∠ DEA+∠ ADE=180°，$​
∴​$∠ DAE=∠ DEA=67.5°，$​
∴​$∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=22.5°.$​
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解：(2)$CE=DF，$$CE⊥ DF.$证明：
$∵$四边形$ABCD$是正方形，
$∴AB=AD=CD，$$∠ A=∠ ADC=90°.$
$∵AE=BF，$$∴AB-BF=AD-AE，$即$AF=DE.$
在$△ ADF$和$△ DCE$中，$\begin{cases}AD=DC,\\∠ A=∠ EDC,\\AF=DE,\end{cases}$
$∴△ ADF≌△ DCE(\mathrm{SAS})，$
$∴CE=DF，$$∠ ADF=∠ DCE.$
又$∵∠ ADF+∠ CDF=90°，$
$∴∠ DCE+∠ CDF=90°，$
$∴∠ DMC=90°，$$∴CE⊥ DF.$
综上，$CE=DF，$$CE⊥ DF.$
解：若选择甲：如图①，连接$AE.$
$\because E$是$BC$的中点，$\therefore CE=\frac{1}{2}BC.$
$\because AD=\frac{1}{2}BC，$$\therefore AD=CE.$
$\because AD// BC，$
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形.
$\because AD=DC，$$\therefore$平行四边形$AECD$是菱形.
若选择乙：如图②，连接$AC，$$AE.$由题可知$AE=EC=\frac{1}{2}BC，$
$\therefore EA=EB，$$EC=EA.$
$\therefore ∠ B=∠ BAE，$$∠ EAC=∠ ECA.$
$\because ∠ B+∠ BAE+∠ EAC+∠ ECA=180°，$
$\therefore ∠ BAE+∠ EAC=∠ BAC=90°.$
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
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