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$(4,2)$
$2+2\sqrt{3}$
1
27
解：​$(1) BE=PC. $​理由如下：如答图，连接​$OB.$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，​$O$​为​$AC$​的中点，
∴​$OB=OC，$​​$OB⊥ OC.$​
∵​$OE⊥ OP，$​∴​$∠ EOP=∠ BOC=90°，$​
∴​$∠ EOB+∠ BOP=∠ POC+∠ BOP，$​
∴​$∠ EOB=∠ POC.$​
∵​$OE⊥ OP，$​​$BP⊥ CP，$​
∴​$∠ E+∠ OPE=∠ OPC+∠ OPE=90°，$​
∴​$∠ E=∠ OPC.$​
​$ $​在​$△ BOE$​与​$△ COP_{中}，$​
​$\begin {cases}∠ E=∠ OPC，\\∠ EOB=∠ POC，\\OB=OC，\end {cases}$​
∴​$△ BOE≌△ COP(\mathrm {AAS})，$​
∴​$BE=PC.$​
​$ (2) BP+CP=\sqrt {2}OP. $​理由如下：
​$ $​由​$(1)$​知，​$△ BOE≌△ COP，$​
∴​$BE=CP，$​​$OE=OP，$​
∴​$△ EOP $​是等腰直角三角形，
∴​$EP=\sqrt {OE^2+OP^2}=\sqrt {2}OP.$​
∵​$EP=BP+BE=BP+CP，$​
∴​$BP+CP=\sqrt {2}OP.$​
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