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第83页

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解：原式$=(x^2y^2-1)^2$

$=(xy+1)^2(xy-1)^2$

解：原式$=2a[(x^2+1)^2-4x^2]$

$=2a(x^2+1+2x)(x^2+1-2x)$

$=2a(x+1)^2(x-1)^2$

证明：$(1)$∵$abcd=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d$

$=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)，$

又∵$9(111a+11b+c)$能被$9$整除，$(a+b+c+d)$也能被$9$整除，

∴$9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$能被$9$整除$.$

∴$abcd$这个数能被$9$整除$.$

$ (2)$解：∵$2+0+2+5=9$能被$9$整除，

∴$2025$能被$9$整除$.$

解：$(1)$原式$=(x-2)^2-y^2=(x-2+y)(x-2-y)$

$ (2)$∵$△ ABC$的三边长$a，b，c_{满足}ac+a^2-ab-bc=0，$

∴$(ac+a^2)-(ab+bc)=0，$

∴$a(a+c)-b(a+c)=0，$

∴$(a+c)(a-b)=0.$

∵$a+c＞0，$

∴$a-b=0，$

∴$a=b，$

∴$△ ABC$是等腰三角形$.$

7921

解：(2)猜想$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2.$

证明：

$\begin{aligned}n(n+1)(n+2)(n+3)+1&=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1\\&=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1\\&=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1\\&=(n^2+3n+1)^2\end{aligned}$

$∴$结论成立.