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解$：(1)$如图，

∵$AB∥OM，$

∴$△A′AB∽△A′OM，$

∴$\frac {A′B}{A′M}=\frac {AB}{OM}，$

即$\frac {A′B}{A′B+BM}=\frac {30}{OM}①，$

∵$DC∥OM，$

∴$△D′DC∽△D′OM，$

∴$\frac {D′C}{D′M}=\frac {CD}{OM}，$

即$\frac {D′C}{D′C+CM}=\frac {30}{OM}②，$

由$①②$得$\frac {A′B}{A′B+BM}=\frac {D′C}{D′C+CM}，$

∴$\frac {A′B}{A′B+BM}=\frac {D′C}{D′C+CM}=\frac {A′B+D′C}{A′B+BM+CM+D′C}=\frac {6}{30+6}=\frac {1}{6}，$

∴$\frac {30}{OM}=\frac {1}{6}，$

∴$OM=180(\mathrm {cm})$

$(2)$设横向影子$A'B，$$D'C$的长度和为$y\mathrm {cm}，$

同理可得$\frac {60}{60+y}=\frac {150}{180}，$

解得$y=12\ \mathrm {cm}.$

$(3)$记灯泡为点$P，$如图：

∵$AD//A'D'，$

∴$∠PAD=∠PA'D'，$$∠PDA=∠PD'A'.$

∴$△PAD∽△PA'D'.$

根据相似三角形对应高的比等于相似比，

可得$\frac {AD}{A'D'}=\frac {PN}{PM}，$

设灯泡离地面距离为$x，$

由题意得$PM=x，$$PN=x-a，$$AD=na，$$A'D'=na+b，$

∴$\frac {na}{na+b}=\frac {x-a}x=1-\frac ax$

$\frac ax=1-\frac {na}{na+b}$

$x=\frac {na^2+ab}b.$

$\frac {ah}{l-h}$

$解：(2)AC+AD为定值，理由如下：$

$由题意得AB//OP//O'P'$

$∵AB//OP$

$∴△ABC∽△OPC$

$∴\frac {AB}{OP}=\frac {AC}{OC}$

$∵AB=h，OP=O'P'=l，OA=a$

$∴\frac h{l}=\frac {AC}{a+AC}$

$∴AC=\frac {ah}{l-h}$

$同理可得AD=\frac {(m-a)h}{l-h}$

$∴AC+AD=\frac {mh}{l-h}$

$∴AC+AD为定值$

$(3)设点A到点O的距离为S_{1}，点A到影子顶端C的距离为S_{2}$

$∵AB//OP$

$∴△ABC∽△OPC$

$∴\frac {AB}{OP}=\frac {AC}{OC}$

$∵AB=h，OP=l，AC=S_{2}，OC=OA+AC=S_{1}+S_{2}$

$∴\frac h{l}=\frac {S_{2}}{S_{1}+S_{2}}$

$∴\frac l{h}-1=\frac {S_{1}}{S_{2}}$

$∴\frac {S_{1}}{S_{2}}=\frac {v_{1}}{v_{2}}=\frac {l-h}h$

$∴v_{2}=\frac {hv_{1}}{l-h}$