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解：​$(1)$​将点​$A(-1，$​​$0)$​代入二次函数表达式，
得​$0=\frac 12×(-1)^2-b-2$​
解得​$b=-\frac 32$​
∴这个二次函数的表达式为​$y=\frac 12x^2-\frac 32x-2$​
∵​$y=\frac 12x^2-\frac 32x-2=\frac 12(x-\frac 32)^2-\frac {25}{8}$​
∴顶点​$D$​的坐标为​$(\frac 32，$​​$-\frac {25}{8})$​
​$(2)△ABC$​是直角三角形，证明如下：
令​$y=0，$​得​$0=\frac 12x^2-\frac 32x-2$​
解得​$x_{1}=-1，$​​$x_{2}=4$​
∴​$A(-1，$​​$0)、$​​$B(4，$​​$0)$​
∴​$AB=5$​
令​$x=0，$​得​$y=-2$​
∴​$C(0，$​​$-2)$​
∴​$AC=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt 5，$​
​$BC=\sqrt {4^2+2^2}=2\sqrt 5$​
∵​$AC^2+BC^2=AB^2$​
∴​$△ABC$​是直角三角形
$解：​(1)​对于一次函数​y=3x+3​$
$当​y=0​时，​3x+3=0，​解得​x=-1​$
$∴​A(-1，​​0)​$
$当​x=0​时，​y=3​$
$∴​B(0，​​3)​$
$将点​A(-1，​​0)、​​B(0，​​3)​代入得​\begin{cases}{0=a-b+c}\\{3=c}\\{0=9a+3b+c}\end{cases}，​解得​\begin{cases}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{cases}​$
$∴这个二次函数的表达式为​y=-x^2+2x+3​$
$​(2)​存在，点​Q​的坐标分别为​(1，​​\sqrt 6)、​​(1，​​-\sqrt 6)、​​(1，​​0)、​​(1，​​1)​$
证明：当​$x=0$​时，​$y=1$​
∴不论​$m $​为何值，函数​$y=mx^2-6x+1$​的图像经过​$y$​轴上的一个定点​$(0，$​​$1) $​
​$(2)①$​当​$m=0$​时，函数​$y=-6x+1$​的图像与​$x$​轴只有一个公共点​$ $​
​$②$​当​$m≠0$​时，若二次函数​$y=mx^2-6x+1$​的图像与​$x$​轴只有一个公共点
则方程​$mx^2-6x+1=0$​有两个相等的实数根
∴​$(-6)^2-4m=0$​
​$m=9$​
综上所述，​$m $​的值为​$0$​或​$9$​
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