解：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD，$$∠ BAD=∠ B=∠ D=90°.$
∵点$B$关于直线$AP $的对称点为$E，$
∴$AB=AE，$$∠ B=∠ AEP=90°，$$∠ BAP=∠ PAE，$
∴$∠ AEF=∠ D=90°，$$AE=AD.$
$ $在$Rt△ EAF $和$Rt△ DAF_{中}，$
$ \begin {cases}AE=AD，\\AF=AF，\end {cases}$
∴$Rt△ EAF≌Rt△ DAF(\mathrm {HL})，$
∴$∠ DAF=∠ EAF，$
∴$∠ PAF=∠ PAE+∠ EAF=\frac {1}{2}∠ BAD=45°.$
$ (2)$如图，过点$G_{作}GM⊥ EF，$交$EF $的延长线于点$M，$
$GN⊥ BC，$交$BC$的延长线于点$N.$
∵点$B$关于直线$AP $的对称点为$E，$
∴$AB=AE，$$∠ APB=∠ APE.$
∵$PG $平分$∠ FPC，$
∴$∠ CPG=∠ FPG，$
∴$∠ APG=\frac {1}{2}∠ BPC=90°.$
∵$∠ PAG=45°，$
∴$∠ PAG=∠ AGP，$
∴$AP=PG.$
∵$∠ APB+∠ GPN=90°，$$∠ BAP+∠ APB=90°，$
∴$∠ BAP=∠ GPN.$
∵$∠ ABP=∠ PNG=90°，$
∴$△ ABP≌△ PNG(\mathrm {AAS})，$
∴$BP=GN.$
∵$PG $平分$∠ CPF，$$GM⊥ EF，$$GN⊥ BC，$
∴$MG=GN.$
∵$S_{△ APF}=\frac {1}{2}PF· AE，$$S_{△ FPG}=\frac {1}{2}PF· GM，$
∴$\frac {S_{△ APF}}{S_{△ PFG}}=\frac {AE}{GM}=\frac {4}{1}=4，$
∴$\frac {AB}{BP}=4.$
∵$AB=3，$∴$BP=\frac {3}{4}.$
