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解：原式​$=x(1-2x+x^2)$​
​$=x(1-x)^2$​
解：原式​$=4(a^2-9)$​
​$=4(a+3)(a-3)$​
解：​$(1)$​设​$B$​品牌套装每套进价为​$x$​元，则​$A$​品牌套装每套进价为​$(x+2.5)$​元。
根据题意，得​$\frac {200}{x+2.5}=2×\frac {75}{x}，$​
解得​$x=7.5。$​
经检验，​$x=7.5$​是所列方程的解。
∴​$x+2.5=10。$​
答：​$A，$​​$B$​两种品牌套装每套进价分别为​$10$​元，​$7.5$​元。
​$ (2)$​设购进​$A$​品牌套装​$m{套}。$​
根据题意，得​$(13-10)m+(9.5-7.5)(2m+4)＞120，$​
解得​$m＞16。$​
∵​$m $​为整数，
∴​$m≥17。$​
答：最少购进​$A$​品牌套装​$17$​套。
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$BO=OD。$​
∵​$E$​是​$CD$​边的中点，
∴​$DE=CE，$​
∴​$OE$​是​$△ BCD$​的中位线，
∴​$OE// BC，$​即​$OE// FG。$​
∵​$OF⊥ BC，$​​$EG⊥ BC，$​
∴​$OF// EG，$​
∴四边形​$OEGF $​是平行四边形。
∵​$∠ OFG=90°，$​
∴平行四边形​$OEGF $​是矩形。
​$ (2)$​∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$AC⊥ BD，$​
∴​$∠ BOC=∠ COD=90°，$​​$OB=OD=\frac {1}{2}BD=4，$​​$OC=\frac {1}{2}AC=3，$​
∴​$BC=CD=\sqrt {4^2+3^2}=5。$​
∵​$E$​是​$CD$​边的中点，
∴​$OE=\frac {1}{2}CD=\frac {5}{2}。$​
∵​$OF⊥ BC，$​
∴​$S_{△ BOC}=\frac {1}{2}BC· OF=\frac {1}{2}OB· OC，$​
∴​$OF=\frac {OB· OC}{BC}=\frac {4×3}{5}=\frac {12}{5}，$​
∴矩形​$OEGF $​的面积​$=OE· OF=\frac {5}{2}×\frac {12}{5}=6。$​
证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是菱形，
∴​$AB=BC=CD=DA，$​​$∠ B=∠ D。$​
∵点​$E，$​​$F_{分别为}AB，$​​$AD$​的中点，
∴​$BE=\frac {1}{2}AB，$​​$DF=\frac {1}{2}AD，$​
∴​$BE=DF，$​
∴​$△ BCE≌△ DCF(\mathrm {SAS})。$​
​$ (2)$​当​$AB⊥ BC$​时，四边形​$AEOF $​是正方形。理由如下：
∵点​$E，$​​$O，$​​$F_{分别为}AB，$​​$AC，$​​$AD$​的中点，
∴​$OE=\frac {1}{2}BC，$​​$OF=\frac {1}{2}CD，$​​$AE=\frac {1}{2}AB，$​​$AF=\frac {1}{2}AD，$​​$OE// BC，$​
∴​$AE=AF=OE=OF，$​
∴四边形​$AEOF $​是菱形。
∵​$AB⊥ BC，$​​$OE// BC，$​
∴​$∠ AEO=∠ B=90°，$​
∴菱形​$AEOF $​是正方形。
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