解：$(2)$四边形$EFGH$为正方形。理由如下：
∵$E，F，G，H$分别是等角线四边形$ABCD$
四条边$AB，BC，CD，DA$的中点，
∴$AC=BD，$$EH=FG=\frac {1}{2}BD，$$EF=HG=\frac {1}{2}AC，$
$ EH// BD，$$FG// BD，$$EF// AC，$$HG// AC，$
∴$EH=FG=EF=HG，$
∴四边形$EFGH$是菱形。
∵$AC⊥ BD，$∴$EF⊥ EH，$
∴$∠ FEH=90°，$
∴菱形$EFGH$是正方形。
$ (3)$以$A，B，C，D$为顶点的等角线四边
形的中点四边形的面积为$\frac {121}{4}$或$\frac {169}{4}。$理由如下：
$ $当点$D$在$AB$的上方时，$E，F，G，H$分别是
等角线四边形$ABDC$四条边$CD，AC，AB，BD$的中点，
$ $对角线$AD=BC，$$AD⊥ BC。$
$ $由$(2)$可知，四边形$EFGH$为正方形，
且$EF=EH=FG=GH=\frac {1}{2}BC=\frac {11}{2}，$
∴四边形$EFGH$的面积为$\frac {11}{2}×\frac {11}{2}=\frac {121}{4}；$
$ $当点$D$在$AB$的下方时，$E，F，G，H$分
别是等角线四边形$ACBD$四条边$AC，$
$AD，BD，BC$的中点，
$ $对角线$AB=CD，$$AB⊥ CD。$
$ $由$(2)$可知，四边形$EFGH$为正方形，
且$EF=EH=FG=GH=\frac {1}{2}AB=\frac {13}{2}，$
∴四边形$EFGH$的面积为$\frac {13}{2}×\frac {13}{2}=\frac {169}{4}。$
综上所述，以$A，B，C，D$为顶点的等角
线四边形的中点四边形的面积为$\frac {121}{4}$或$\frac {169}{4}。$
