解：$(1)$∵$AD// BC，$$∠ DCB=75°，$
∴$∠ ADC=180°-∠ BCD=105°。$
∵$△ DCE$是等边三角形，
∴$∠ CDE=60°。$
∴$∠ ADE=∠ ADC-∠ CDE=45°。$
∵$AD// BC，$$AB⊥ BC，$
∴$∠ A=90°，$
∴$∠ AED=90°-∠ ADE=45°。$
$ (2)$由$(1)$知$AD=AE，$故点$A$在线段$DE$的垂直平分线上。
∵$△ DCE$是等边三角形，
∴$CD=CE，$
∴点$C$在线段$DE$的垂直平分线上。
∴$AC$就是线段$DE$的垂直平分线，即$AC⊥ DE。$
如答图①，连接$AC。$
∵$∠ ADE=45°，$
∴$∠ BAC=45°。$
又∵$AB⊥ BC，$
∴$AB=BC。$
$ (3)$∵$∠ FBC=30°，$
∴$∠ ABF=60°。$
如答图②，连接$AF，$延长$AD，$$BF $相交于点$G。$
∵$∠ FBC=30°，$$∠ DCB=75°，$
∴$∠ BFC=75°=∠ BCF，$
∴$BC=BF。$
$ $由$(2)$知$BA=BC，$
∴$BA=BF。$
又∵$∠ ABF=60°，$
∴$△ ABF $是等边三角形，
∴$AB=AF=BF。$
又∵$AD// BC，$$AB⊥ BC，$
∴$∠ FAG=∠ G=30°。$
∴$FG=FA=FB。$
∵$∠ FBC=∠ G=30°，$$FB=FG，$$∠ DFG=∠ CFB，$
∴$△ BCF≌△ GDF(\mathrm {ASA})。$
∴$CF=DF，$即$F $是线段$CD$的中点，
∴$\frac {DF}{FC}=1，$
$ $即$\frac {DF}{FC}$的值为$1。$
