解:$(1)$根据题意,得$\begin {cases} 200a + (286 - 200)b = 178.76 \\200a + (316 - 200)b = 198.56 \end {cases},$
$ $解得$\begin {cases} a = 0.61 \\b = 0.66 \end {cases}。$
$ (2) $因为$ 200 × 0.61 + (400 - 200) × 0.66 = 254 ($元$),$$ 254 < 300 ,$
所以最多可用电超过$400$千瓦$·$时。
$ $设李叔叔家六月份用电$ y $千瓦$·$时。
根据题意,得$ 254 + 0.92(y - 400) ≤ 300 ,$
$ $解得$ y ≤ 450 。$
答:李叔叔家六月份最多可用电$450$千瓦$·$时。