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解：​$(1) $​根据​$“$​和积数​$”$​的定义，得
​$ c=(4+1)×(-2+1)=5×(-1)=-5$​
​$ (2) $​由​$“$​和积数​$”$​的定义展开公式：
​$ c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$​
​$ $​已知​$ab=\frac {1}{2}，$​​$a^2+b^2=8，$​根据完全平方公式：
​$ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=8+2×\frac {1}{2}=9$​
​$ $​解得​$a+b=3$​或​$a+b=-3$​
​$ $​当​$a+b=3$​时，​$c=\frac {1}{2}+3+1=\frac {9}{2}；$​
​$ $​当​$a+b=-3$​时，​$c=\frac {1}{2}-3+1=-\frac {3}{2}；$​
综上，​$c $​的值为​$\frac {9}{2}$​或​$-\frac {3}{2}$​
解：​$ (1) $​对多项式配方变形：
​$ x^2+6x+4=x^2+6x+9-9+4=(x+3)^2-5$​
根据定义，该多项式的对称轴为​$x=-3$​
​$ (2) $​将多项式​$x^2-kx+4$​配方：
​$ x^2-kx+4=(x-\frac {k}{2})^2+4-\frac {k^2}{4}$​
​$ $​因为该多项式关于​$x=3$​对称，
所以​$\frac {k}{2}=3，$​
解得​$k=6$​
解：​$(1) 8631$​是​$“$​双减数​$”，$​计算如下：
​$ $​因为​$8-6=2，$​​$3-1=2，$​且​$8≠3，$​各个数位数字均不为​$0，$​符合“双减数”的定义，
​$ $​所以​$N(8631)=86-31=55$​
​$ (2) $​该说法正确，理由如下：
​$ $​设​$“$​双减数​$”A$​的千位数字为​$a，$​十位数字为​$b(a、$​​$b$​为​$1\sim 9$​的整数，且​$a≠ b)，$​
​$ $​则百位数字为​$a-2，$​个位数字为​$b-2，$​
​$ N(\mathrm {A})=[10a+(a-2)]-[10b+(b-2)]=11a-2-11b+2=11(a-b)$​
​$ $​因为​$11(a-b)$​是​$11$​的整数倍，所以​$N(\mathrm {A})$​能被​$11$​整除。
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