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解：$3^{101} × 7^{102} × 13^{103} = 3^{100} × 3 × 7^{102} × 13^{102} × 13 = (3^4)^{25} × 3 × (7 × 13)^{102} × 13 = 81^{25} × 91^{102} × 39$

$∵81^{25}$的个位数字是1，$91^{102}$的个位数字是1

$∴81^{25} × 91^{102}$的个位数字是1，$1 × 39$的个位数字是9

$∴3^{101} × 7^{102} × 13^{103}$的个位数字为9

证明：$∵P = \frac{77^7}{7^{77}} = \frac{(7 × 11)^7}{7^{7+70}} = \frac{7^7 × 11^7}{7^7 × 7^{70}} = \frac{11^7}{7^{70}}$

又$∵Q = \frac{11^7}{7^{70}}$

$∴P=Q$

解$： (1) $∵$x^a \bigoplus x^b = x^{ab} + x^{a+b}$

∴$2^2 \bigoplus 2^3 = 2^{2 × 3} + 2^{2+3} = 2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96$

$ (2) $∵$2^p = 3，$$3^q = 7$

∴$(2^p)^q = 3^q = 7，$即$2^{pq}=7$

∴$2^p \bigoplus 2^q = 2^{pq} + 2^{p+q} = 7 + 2^p × 2^q = 7 + 3 × 5 = 7 + 15 = 22$

$ (3) 9 \bigoplus 9^t = 9^{1 × t} + 9^{1+t} = 9^t + 9 × 9^t = 10 × 9^t$

∵$9 \bigoplus 9^t = 810$

∴$10 × 9^t = 810，$

则$9^t = 81，$

解得$t=2$

$\frac{1}{9}$

解$：(2) ② $∵$(8，1000)=(2^3，10^3)=(2，10)，$$(32，100000)=(2^5，10^5)=(2，10)$

∴$(8，1000)-(32，100000)=(2，10)-(2，10)=0$

③ 证明：设$(3，2)=a，$$(3，5)=b，$$(3，10)=c$

$ $则$3^a=2，$$3^b=5，$$3^c=10$

∵$2 × 5=10$

∴$3^a × 3^b = 3^c，$即$3^{a+b}=3^c$

∴$a+b=c，$即$(3，2)+(3，5)=(3，10)$