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解：因为$6^x=192，$$32^y=192，$
所以$6×6^{x-1}=6×32，$$32×32^{y-1}=6×32，$
即$6^{x-1}=32，$$32^{y-1}=6。$
所以$(6^{x-1})^{y-1}=6，$即$6^{(x-1)(y-1)}=6^1，$
因此$(x-1)(y-1)=1。$
则原式$=(-2024)^{1-2}=(-2024)^{-1}=-\frac{1}{2024}。$
解：
​$ (1)$​因为​$a=16^{31}=(2^4)^{31}=2^{124}，$​
​$b=8^{41}=(2^3)^{41}=2^{123}，$​
​$c=4^{61}=(2^2)^{61}=2^{122}，$​
​$ $​又因为​$124＞123＞122，$​
且底数​$2＞1，$​指数越大幂越大，
​$ $​所以​$a＞b＞c。$​
​$ (2)$​因为​$3^{100}=(3^5)^{20}=243^{20}，$​
​$5^{60}=(5^3)^{20}=125^{20}，$​
​$ $​又因为​$243＞125，$​且底数大于​$1，$​指数相同，底数越大幂越大，
​$ $​所以​$3^{100}＞5^{60}。$​
解：
(1)$N=2^{12}×5^9=2^3×2^9×5^9=8×(2×5)^9=8×10^9，$
因为$8×10^9$是$8$后面有9个0，所以整数$N$是十位数。
(2)$2^{2024}×3^{2025}=(2^{2024}×3^{2024})×3=6^{2024}×3，$
因为6的任何正整数次幂的个位数字都是6，
所以$6^{2024}$的个位数字是6，
则$6×3=18，$所以$2^{2024}×3^{2025}$的个位数字是8。
解：因为$25^{x-2}=5^{x+5}，$
即$(5^2)^{x-2}=5^{x+5}，$
所以$5^{2(x-2)}=5^{x+5}，$
则$2(x-2)=x+5，$
$2x-4=x+5，$
解得$x=9。$
解：因为$4^{x+1}×3^x-4^x×3^{x+1}=2^3×6^3，$
所以$4×4^x×3^x-3×4^x×3^x=(2×6)^3，$
即$4×12^x-3×12^x=12^3，$
$(4-3)×12^x=12^3，$
$12^x=12^3，$
解得$x=3。$
解：
(1)因为$2^{x+1}·2^x=2^5，$
所以$2^{x+1+x}=2^5，$
即$2^{2x+1}=2^5，$
则$2x+1=5，$
解得$x=2。$
(2)因为$2^{x+1}+2^x=24，$
所以$2·2^x+2^x=24，$
即$(2+1)×2^x=24，$
$3×2^x=24，$
$2^x=8=2^3，$
解得$x=3。$
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