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$-\frac{1}{2}≤ a＜0$
解：不等式两边同乘6，得$2(2x+1)＞6-3(x+6)，$
去括号，得$4x+2＞6-3x-18，$
移项，得$4x+3x＞6-18-2，$
合并同类项，得$7x＞-14，$
两边都除以7，得$x＞-2，$

解：不等式两边同乘6，
得$3(x+1)+2(x-1)≤6，$
去括号，得$3x+3+2x-2≤6，$
移项，合并同类项，得$5x≤5，$
两边都除以5，得$x≤1。$
解：​$\begin {cases}9x+5＜8x+7，①\\\frac {4}{3}x+2＞1-\frac {2}{3}x，②\end {cases}$​
解不等式①，得​$x＜2。$​
解不等式②，得​$x＞-\frac {1}{2}。$​
​$ $​所以原不等式组的解集为​$-\frac {1}{2}＜x＜2，$
​其整数解为​$0，$​​$1。$​
解：
(1)选择促销方式一更优惠，理由如下：
选择促销方式一需付款$500×85\%=425$(元).
选择促销方式二需付款$500-60=440$(元).
因为$425＜440，$所以选择促销方式一更优惠.
(2)设商品原价为$x$元，
当$300≤ x＜600$时，$85\%x=x-60，$解得$x=400.$
当$600≤ x＜900$时，$85\%x=x-120，$解得$x=800.$
当$900≤ x＜1200$时，$85\%x=x-180，$解得$x=1200$(不符合题意，舍去)，
所以当$x≥900$时，不存在符合题意的情况.
答：当商品原价为400元或800元时，两种促销方式一样优惠.
(3)当$0＜m＜300$时，选择促销方式一需付款$85\%m$元，
选择促销方式二需付款$m$元，所以此时促销方式一比促销方式二更优惠；
当$300≤ m＜600$时，选择促销方式一需付款$85\%m$元，
选择促销方式二需付款$(m-60)$元，
根据题意，得$85\%m＞m-60，$解得$m＜400；$
所以当$300≤ m＜400$时，促销方式二比促销方式一更优惠.
当$600≤ m＜900$时，选择促销方式一需付款$85\%m$元，
选择促销方式二需付款$(m-120)$元，
根据题意，得$85\%m＞m-120，$解得$m＜800.$
所以当$600≤ m＜800$时，促销方式二比促销方式一更优惠.
综上，当$300≤ m＜400$或$600≤ m＜800$时，促销方式二比促销方式一更优惠.
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