解：$(1) $∵矩形$OABC$的顶点$B$的坐标为$(3，4)$，
∴$OC=AB=4$，$OA=BC=3$。
$ $在$y=-\frac {2}{3}x+b$中，令$x=0$，得$y=b$，
∴点$D$的坐标为$(0，b)$，
∴$OD=b$。
∵$OD=BE$，∴$BE=b$，
∴点$E$的坐标是$(3，4-b)$。
∵点$E(3，4-b)$在直线$y=-\frac {2}{3}x+b$上，
∴$4-b=-\frac {2}{3}×3+b$，解得$b=3$。
$ (2) $由$(1)$得$D$，$E$两点的坐标分别为$(0，3)$，$(3，1)$，
∴$OD=3$，$AE=1$。
∴$S_{四边形OAED}=\frac {1}{2}(OD+AE)× OA=\frac {1}{2}×(3+1)×3=6$。
∵$△ ODM$的面积与四边形$OAEM$的面积之比为$1：3$，
∴$S_{△ ODM}=\frac {1}{4}S_{四边形OAED}=\frac {3}{2}$。
$ $不妨设线段$DE$上的点$M$的坐标为$(t，-\frac {2}{3}t+3)$，
易知$0＜t＜3$，
则点$M$到$OD$的距离为$t$，
∴$\frac {1}{2}×3t=\frac {3}{2}$，解得$t=1$，
∴点$M$的坐标为$(1，\frac {7}{3})$。
$ (3) $设线段$DE$上的点$M$的坐标为$(m，-\frac {2}{3}m+3)$。
$ $由$(1)$得$D$，$E$两点的坐标分别为$(0，3)$，$(3，1)$，
∴$OD=3$，$AE=1$。
分两种情况讨论：
$ ①$当$OD$作为菱形的对角线时，
$ $得菱形$OMDN$，
∴$MN⊥ OD$，$MN$，$OD$互相平分，
∴$-\frac {2}{3}m+3=\frac {1}{2}×3$，解得$m=\frac {9}{4}$，
∴点$M$的坐标为$(\frac {9}{4}，\frac {3}{2})$，
此时点$N$的坐标为$(-\frac {9}{4}，\frac {3}{2})$。
$ ②$当$OD$作为菱形的一边时，
$ $得菱形$OMND$，
∴$MN// OD$，$MN=OM=OD=3$。
$ $根据点$M$的坐标为$(m，-\frac {2}{3}m+3)$，
可得点$N$的坐标为$(m，-\frac {2}{3}m+6)$。
$ $过点$M$作$MP⊥ x$轴于点$P$，
则在$Rt△ OPM$中，$OP=m$，$MP=-\frac {2}{3}m+3$。
由勾股定理，得$OP^2+PM^2=OM^2$，
即$\mathrm {m^2}+(-\frac {2}{3}m+3)^2=3^2$，
$ $化简得$\frac {13}{9}\mathrm {m^2}-4m=0$。
由题意，得点$M$不在$y$轴上，即$m≠0$。
$ $在等式$\frac {13}{9}\mathrm {m^2}-4m=0$的两边同时除以$m$，
得$\frac {13}{9}m-4=0$，
解得$m=\frac {36}{13}$。
$ $此时点$N$的坐标为$(\frac {36}{13}，\frac {54}{13})$。
综上，满足题意的点$N$的坐标为$(-\frac {9}{4}，\frac {3}{2})$或$(\frac {36}{13}，\frac {54}{13})$。
