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$120°$
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解：设长方形$ABCD$平移距离$AE=x，$
$\because$ 长方形$ABCD$的长为$5，$宽为$4，$
$\therefore$ 长方形$ABCD$的周长$=2×(5+4)=18，$
$\because$ 长方形$CDEF$的周长是长方形$ABCD$周长的$\frac{2}{3}，$
$\therefore 4+4+5-x+5-x=18×\frac{2}{3}，$
化简得：$18-2x=12，$
解得：$x=3。$
答：长方形$ABCD$平移的距离为$3。$
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