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解：
$3x-2＜-4(x-5)$
$3x-2＜-4x+20$
$3x+4x＜20+2$
$7x＜22$
$x＜\frac{22}{7}$

解：
原不等式等价于$\begin{cases}\frac{2-x}{3}＞-1 \\ \frac{2-x}{3}＜2\end{cases}$
解$\frac{2-x}{3}＞-1$：
$2-x＞-3$
$-x＞-5$
$x＜5$
解$\frac{2-x}{3}＜2$：
$2-x＜6$
$-x＜4$
$x＞-4$
所以不等式的解集为$-4＜x＜5$


解：
不等式​$x - 6 ≤ 0，$​
​${x ≤ 6}。$​
不等式​$\frac {1}{2}(x - 4) + 3 ＞ 0，$​
​$\frac {1}{2}x - 2 + 3 ＞ 0，$​
​$\frac {1}{2}x + 1 ＞ 0，$​
​$\frac {1}{2}x ＞ -1，$​
​${x ＞ -2}。$​
∴不等式组的解集为​${-2 ＜ x ≤ 6}。$​
该不等式组的整数解为：​${-1， 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6}。$​
解：
$\begin{cases}x-2y=m & (1) \\ 2x+3y=2m+4 & (2)\end{cases}$
$(1)+(2)$得：$3x+y=3m+4$
$(2)-(1)$得：$x+5y=m+4$
由题意得$\begin{cases}3x+y≤0 \\ x+5y＞0\end{cases}，$代入得：
$\begin{cases}3m+4≤0 \\ m+4＞0\end{cases}$
解$3m+4≤0$得：$m≤-\frac{4}{3}$
解$m+4＞0$得：$m＞-4$
所以$-4＜m≤-\frac{4}{3}$
则$m$的整数值为$-3，$$-2$
(1) 解：
设甲商品的进价为$x$元，乙商品的进价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x=\frac{1}{2}y \\ 3x+y=200\end{cases}$
将$x=\frac{1}{2}y$代入$3x+y=200$：
$3×\frac{1}{2}y+y=200$
$\frac{5}{2}y=200$
$y=80$
则$x=\frac{1}{2}×80=40$
答：甲商品的进价为40元，乙商品的进价为80元。
(2) 解：
设购进甲种商品$m$件，则购进乙种商品$(100-m)$件，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}40m+80(100-m)≥6710 \\ 40m+80(100-m)≤6810\end{cases}$
解第一个不等式：
$40m+8000-80m≥6710$
$-40m≥-1290$
$m≤32\frac{1}{4}$
解第二个不等式：
$40m+8000-80m≤6810$
$-40m≤-1190$
$m≥29\frac{3}{4}$
因为$m$为整数，所以$m=30,31,32，$即有3种进货方案：
方案1：购进甲商品30件，乙商品70件；
方案2：购进甲商品31件，乙商品69件；
方案3：购进甲商品32件，乙商品68件。
设利润为$W$元，根据题意：
$W=(80-40)m+(130-80)(100-m)$
$=40m+50(100-m)$
$=-10m+5000$
因为$-10＜0，$所以$W$随$m$的增大而减小，当$m=30$时，$W$最大：
$W=-10×30+5000=4700$（元）
答：该商店有3种进货方案，购进甲商品30件、乙商品70件时可获得最大利润，最大利润为4700元。
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