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 解：原式$=(\frac{6}{(x-4)(x+4)}-\frac{3(x-4)}{(x-4)(x+4)}) ÷ \frac{x-6}{x-4}$

 $=\frac{6-3x+12}{(x-4)(x+4)} · \frac{x-4}{x-6}$

 $=\frac{-3x+18}{(x-4)(x+4)} · \frac{x-4}{x-6}$

 $=\frac{-3(x-6)}{(x-4)(x+4)} · \frac{x-4}{x-6}$

 $=-\frac{3}{x+4}$

 解：原式$=\frac{(x+y)(2x+y)}{x+y}-x-2y$

 $=2x+y-x-2y$

 $=x-y$

 解：原式$=\frac{a}{a-b} ÷ \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}-\frac{a-b}{a+b}$

 $=\frac{a}{a-b} · \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}-\frac{a-b}{a+b}$

 $=\frac{a}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}$

 $=\frac{a-(a-b)}{a+b}$

 $=\frac{b}{a+b}$

 由$b-2a=0$得$b=2a，$代入得：

 原式$=\frac{2a}{a+2a}=\frac{2}{3}$

 （1）解：$A=\frac{3}{a-b}-\frac{2(a+b)}{(a-b)(a+b)}$

 $=\frac{3}{a-b}-\frac{2}{a-b}$

 $=\frac{1}{a-b}$

 （2）解：因为点$P(a,b)$在$y=x+\sqrt{2}$上，所以$b=a+\sqrt{2}，$即$a-b=-\sqrt{2}$

 则$A=\frac{1}{-\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{a}{b+m}$

$\frac{a}{b}＞\frac{a}{b+m}$

$ \frac {a}{b}＜\frac {a+m}{b+m}$

证明：$\frac {a}{b}-\frac {a+m}{b+m}=\frac {a(b+m)-b(a+m)}{b(b+m)}=\frac {m(a-b)}{b(b+m)}$

因为$b＞a＞0，m＞0，$

所以$a-b＜0，b＞0，b+m＞0，$

则$\frac {m(a-b)}{b(b+m)}＜0，$即$\frac {a}{b}-\frac {a+m}{b+m}＜0，$

所以$\frac {a}{b}＜\frac {a+m}{b+m}$