解：
$ (1)$
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB=4，$$AD=3，$$∠D=∠DAB=90°$
由折叠性质得：$△ ADM ≌ △ ANM，$
∴$AD=AN=3，$$∠ DAM = ∠ NAM$
∵$AN$平分$∠ MAB，$
∴$∠ NAM = ∠ NAB$
∴$∠ DAM = ∠ NAM = ∠ NAB = \frac {1}{3} × 90° = 30°$
$ $在$Rt△ ADM$中，$DM = AD · \mathrm {tan}30° = 3 × \frac {\sqrt {3}}{3} = \sqrt {3}$
$ (2)$过点$N$作$NG ⊥ AB$于点$G$
由折叠性质得：$DM=MN=1，$$AD=AN=3，$$∠ ANM = ∠ D = 90°$
$ $设$AG=a，$$NG=b，$则$BG=4-a$
$ $在$Rt△ ANG_{中}，$$a^2 + b^2 = 3^2 = 9$
$ $在$Rt△ BNG_{中}，$$(4-a)^2 + b^2 = (4-1)^2 = 9$
联立两式，解得$b = \frac {24}{5}$
∴$S_{△ ABN} = \frac {1}{2} × AB × NG = \frac {1}{2} × 4 × \frac {24}{5} = \frac {24}{5}$
$ (3)$以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴建立平面直角坐标系，
$ $则$A(0，0)，$$B(4，0)，$$D(0，3)，$点$N$在以$A$为圆心，$AD$长为半径的圆上，
即$x^2 + y^2 = 9(y＞0)$
$ $设直线$BN$的解析式为$y = k(x-4)，$
联立$\begin {cases}y = k(x-4)\\x ^2 + y^2 = 9\end {cases}$
$ $消去$y$得：$(1+k^2)x^2 - 8k^2x + 16k^2 - 9 = 0$
∵直线$BN$与圆$A$有交点，
∴判别式$∆= (8k^2)^2 - 4(1+k^2)(16k^2 - 9) ≥ 0$
$ $解得$k^2 ≤ \frac {9}{7}，$
即$-\frac {3\sqrt {7}}{7} ≤ k ≤ 0$
$ $当直线$BN$交$CD$于$F $时，$CD$的纵坐标为$3，$
代入$y = k(x-4)$得$3 = k(x-4)，$$x = 4 + \frac {3}{k}$
$ $要使$DF_{最大}，$即$x_{最大}，$需$\frac {3}{k}$最大，
∵$k ≤ 0，$
∴$k$取最小值$-\frac {3\sqrt {7}}{7}$
$ $此时$x = 4 + \frac {3}{-\frac {3\sqrt {7}}{7}} = 4 - \sqrt {7}$
$ $即$DF $的最大值为$4 - \sqrt {7}$
