解：$(1)$
证明：∵四边形$ABCD$和四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$都是正方形
∴$∠A_{1}OF=∠ABC=90°$
$∠BOC=90°$
$∠EBO=∠FCO=45°$
∴$OB=OC$
∴$∠A_{1}PC_{1}-∠BOF=∠BOC-∠BOF$
即$∠EOB=∠FOC$
在△和△中：
$\begin {cases}{∠EOB=∠FOC} \\{OB=OC} \\{∠EBO=∠FCO}\end {cases}$
∴$△EOB≌△FOC(\mathrm {ASA})$
∴$OE=OF$
$(2)$证明：过点$O$作$OM⊥BC$于点$M，$反向延长$OM$交$AD$于点$N$
∵$OA⊥OF$
∴$∠AOF=90°$
∴$∠NOA+∠MOF=90°$
又∵四边形$ABCD$为矩形
∴$AD//BC$
$∠DAB=∠ABC=90°$
又∵$MN⊥BC$
∴$MN⊥AD$
∴$∠ANO=90°$
∴$∠NAO+∠NOA=90°$
∴$∠NAO=∠MOF$
又∵$∠ANO=∠OMF=90°$
∴$△ANO∽OFM$
∴$\frac {OF}{OA}=\frac {OM}{AN}$
又∵在四边形$ABMN$中
$∠ABM=∠BMN=∠BAN=90°$
∴四边形$ABMN$为矩形
∴$AN=BM$
∴$\frac {OF}{OA}=\frac {OM}{AN}=\frac {OM}{BM}$
∵$tan∠DBC=\frac {DC}{BC}=\frac {1}{2}$
∴$\frac {OM}{BM}=\frac {1}{2}$
∴$\frac {OF}{OA}=\frac {1}{2}$
∴$OA=2OF$
$(3)$证明：过$O$作$∠BOG=∠AOF，$$OG_{交}BC$于点$G，$
∵四边形$ABCD$为平行四边形
∴$∠BAD=∠BCD$
∴$AB//CD$
$AB=CD$
∴$∠BCD+∠ABC=180°$
又∵$∠AOF=∠BAD$
∴$∠AOF=∠BCD$
∴$∠BOG=∠BCD$
∴$180°-∠OBG-∠OGB=180°-∠ABC$
∴$180°-∠OBG-∠OGB=180°-∠ABO-∠OBG$
∴$∠OGB=∠ABO$
即$∠OGF=∠OBA$
∴$△OGF∽△OBA$
∴$\frac {OF}{OA}=\frac {OG}{OB}$
又∵$∠OBG=∠CBD$
$∠BOG=∠BCD$
∴$△BOG∽△BCD$
∴$\frac {OG}{OB}=\frac {CD}{BC}$
∴$\frac {OF}{OA}=\frac {AB}{BC}$
