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第109页

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解：

$ (1) $在$Rt△ PQB$中，$∠ PQB=90°，$$∠ PBQ=53°，$$PQ=16$米，

$ $由$\tan ∠ PBQ=\frac {PQ}{BQ}，$且$\mathrm {tan}53°≈\frac {4}{3}，$

$ $得$BQ=\frac {PQ}{ \mathrm {tan}53°}≈\frac {16}{\frac {4}{3}}=12$米。

答：路段$BQ $的长约为$12$米。

$ (2) $过点$A$作$AH⊥ BQ $于$H，$设$AH=x$米，

$ $因为坡度$i=1：3，$所以$BH=3x$米。

$ $在$Rt△ PQA$中，$∠ PAQ=27°，$$PQ=16$米，

$QH=BQ+BH=12+3x，$

$PQ-AH=16-x，$

$ $由$ \mathrm {tan}27°=\frac {16-x}{12+3x}，$且$\mathrm {tan}27°≈0.5，$

$ $得$0.5=\frac {16-x}{12+3x}，$

解得$x=4。$

$ $则$AH=4$米，$BH=12$米，

$ AB=\sqrt {AH^2+BH^2}=\sqrt {4^2+12^2}=4\sqrt {10}≈12.8$米。

$ $小汽车的速度为$\frac {12.8}{2}=6.4$米$/$秒，换算为$6.4×3.6=23.04\ \mathrm {km/h}，$

$ $因为$23.04＜30，$所以小汽车没有超速。

答：小汽车没有超速。

 解：根据弹簧弹力公式$F=k·\Delta x，$

 当$PB=4$cm时，

形变量$\Delta x_1=4-3=1$cm，$F_1=100$N，

可得劲度系数$k=\frac{F_1}{\Delta x_1}=100$N/cm。

 当$F_2=300$N时，

形变量$\Delta x_2=\frac{F_2}{k}=3$cm，

因此$PC=3+3=6$cm。

 过点$P$作$PD⊥ BC$的延长线于点$D，$

 因为$∠ PBC=120°，$所以$∠ PBD=60°。$

 在$Rt△ PBD$中，$PB=4$cm，

 $BD=PB·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$cm，$PD=PB·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$cm。

 在$Rt△ PCD$中，$PC=6$cm，$PD=2\sqrt{3}$cm，

 $CD=\sqrt{PC^2-PD^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$cm。

 因此$BC=CD-BD=2\sqrt{6}-2$cm。

 答：$BC$的长为$(2\sqrt{6}-2)$cm。