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解：​$(1)$​∵​$AB=BC，AC⊥ BD，$​
∴​$∠ ABD=∠ CBD，$​
又​$BD=BD，$​
∴​$△ ABD≌ △ CBD，$​
∴​$AD=CD.$​
​$(2)$​若​$EF $​与​$BC$​垂直​$，$​则​$AE≠ EF，BF≠ EF，$​
∴​$ $​四边形​$ABFE$​不是等腰直角四边形​$，$​不符合条件​$.$​
若​$EF $​与​$BC$​不垂直​$，$​如图

​$①$​当​$AE=AB$​时​$，$​此时四边形​$ABFE$​是等腰直角四边形​$，$​
∴​$AE=AB=5.$​
​$②$​当​$BF=AB$​时​$，$​如图

此时四边形​$ABFE$​是等腰直角四边形​$，$​
且​$BF=AB=5.$​
∵​$DE// BF，$​
易证​$△ PED∽ △ PFB，$​
∴​$\frac {DE}{BF}=\frac {PD}{PB}=\frac {1}{2}，$​
∴​$DE=2.5，$​
∴​$AE=AD-DE=9-2.5=6.5.$​
综上所述​$，AE$​的长为​$5$​或​$6.5.$​
$C_2$
​$\frac {3\sqrt {2}+\sqrt {6}}{6}$​
解：​$(2)\frac {2 - \sqrt {2}}{2}≤ t≤\frac {2 + \sqrt {2}}{2}$​且​$t≠\frac {1}{2}$​
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