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解：方程两边同乘$(x+2)(x-3)，$得
$x(x-3)+3(x+2)=(x+2)(x-3)，$
解这个方程，得$x=-12。$
检验：当$x=-12$时，$(x+2)(x-3)≠0，$
$∴$原方程的解是$x=-12。$
解：方程两边同乘$x-2，$得$1+x-1=3x-6，$
解这个方程，得$x=3。$
检验：当$x=3$时，$x-2≠0，$
$∴$原方程的解是$x=3。$
解：​$ (1)$​由题意得​$\frac {x}{x+2}=2$​，解得​$x=-4$​。
检验：当​$x=-4$​时，​$x+2≠0$​。
∴原方程的解是​$x=-4$​，
​$ $​故​$x$​的值为​$-4$​。
​$ (2)$​由题意得​$\frac {x}{x+2}-\frac {1}{2x+4}=\frac {1}{2x+4}-(-2)$​，
​$ $​解得​$x=-5$​。
检验：当​$x=-5$​时，​$2(x+2)≠0$​，
∴原方程的解是​$x=-5$​。
∴​$x$​的值为​$-5$​。
解：​$(1)$​把​$m=4$​代入方程​$\frac {2}{x-1}-\frac {mx}{(x-1)(x+2)}=\frac {1}{x+2}$​，
得​$\frac {2}{x-1}-\frac {4x}{(x-1)(x+2)}=\frac {1}{x+2}$​，
​$ $​方程两边同乘​$(x-1)(x+2)$​，得​$2(x+2)-4x=x-1$​，
解这个方程，得​$x=\frac {5}{3}$​。
检验：当​$x=\frac {5}{3}$​时，​$(x-1)(x+2)≠0$​，
∴原方程的解是​$x=\frac {5}{3}$​。
​$ $​即​$m=4$​时，方程的解是​$x=\frac {5}{3}$​。
​$ (2)$​方程​$\frac {2}{x-1}-\frac {mx}{(x-1)(x+2)}=\frac {1}{x+2}$​两边同乘​$(x-1)·(x+2)$​，
得​$2(x+2)-mx=x-1$​，①
​$ $​整理得​$(1-m)x=-5$​。②
第一种情况：当​$x-1=0$​时，方程无解，此时​$x=1$​，
​$ $​把​$x=1$​代入​$②$​，解得​$m=6$​；
第二种情况：当​$x+2=0$​时，方程无解，此时​$x=-2$​，
​$ $​把​$x=-2$​代入​$②$​，解得​$m=-\frac {3}{2}$​；
第三种情况：∵​$(1-m)x=-5$​，
∴当​$1-m=0$​时，方程无解，此时​$m=1$​。
综上可知，​$m $​的值为​$6$​或​$-\frac {3}{2}$​或​$1$​。
解：​$(1)$​把​$x=3$​代入方程​$\frac {2x}{x-2}+\frac {m}{x-2}=3$​，
​$ $​得​$6+m=3$​，解得​$m=-3$​。
​$ (2)$​方程两边同乘​$x-2$​，得​$2x+m=3x-6$​，
​$ $​解得​$x=m+6$​。
∵方程的增根为​$x=2$​，
∴​$m+6=2$​，解得​$m=-4$​。
​$ (3)$​由​$(2)$​知​$x=m+6$​。
∵​$x＞0$​，
∴​$m+6＞0$​，解得​$m＞-6$​。
∵​$x≠2$​，即​$m+6≠2$​，
∴​$m≠-4$​，
∴​$m $​的取值范围是​$m＞-6$​且​$m≠-4$​。
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