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证明：∵四边形​$ABCD$​是平行四边形，
∴​$AB// CD$​，​$AB=CD.$​
∵点​$M$​，​$N$​分别是边​$AB$​，​$CD$​的中点，
∴​$AM=\frac {1}{2}AB$​，​$CN=\frac {1}{2}CD$​，
∴​$AM=CN.$​
又∵​$AM// CN$​，
∴四边形​$AMCN$​是平行四边形，
∴​$AN=CM.$​
证明​$：(1) $​如答图，延长​$DE$​交​$CB$​的延长线于点​$F.$​
∵​$AD// CF$​，
∴​$∠ A=∠ ABF$​，​$∠ ADE=∠ F.$​
∵​$E$​为​$AB$​的中点，
∴​$AE=EB.$​
​$ $​在​$△ AED$​与​$△ BEF_{中}$​，
​$\begin {cases}∠ A=∠ ABF， \\AE=BE， \\∠ ADE=∠ F，\end {cases}$​
∴​$△ AED≌△ BEF$​，
∴​$DE=EF$​，
∵​$CE⊥ DF$​，
∴​$CD=CF$​，
∴​$∠ CDF=∠ F$​，
∴​$∠ ADE=∠ CDF$​，
∴​$DE$​平分​$∠ ADC.$​
​$ (2) $​∵​$△ AED≌△ BEF$​，
∴​$AD=BF$​，​$DE=EF.$​
∵​$CE⊥ DF$​，
∴​$CD=CF=BC+BF$​，
∴​$AD+BC=DC.$​

证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是正方形，
∴​$AB=BC$​，​$∠ ABC=∠ C=90°.$​
∵​$AE⊥ BF$​，
∴​$∠ AMB=90°$​，
∴​$∠ BAM+∠ ABM=∠ CBF+∠ ABM=90°$​，
∴​$∠ BAM=∠ CBF$​，
∴​$△ ABE≌△ BCF(\mathrm {ASA})$​，
∴​$AE=BF.$​
​$ (2)$​相等​$. $​证明：
如答图①，过点​$A$​作​$AP// GE$​交​$BC$​于点​$P$​，
则得平行四边形​$APEG$​，从而​$AP=GE.$​
∵​$GE⊥ BF$​，
∴​$AP⊥ BF.$​
​$ $​由​$(1)$​知​$AP=BF$​，
∴​$GE=BF.$​
​$ (3) $​如答图​$②$​，过点​$G_{作}GE_1⊥ BF_{交}BC$​于点​$E_1$​，
过点​$G_{作}GH⊥ BC$​于点​$H$​，
​$ $​由​$ (1)(2)$​可知​$△ GHE_1≌△ BCF$​，
∴​$HE_1=CF.$​
∵正方形​$ABCD$​的边长为​$6$​，点​$G $​为​$AD$​的中点，
点​$F $​为​$CD$​上一点，​$DF=2CF$​，
∴​$AG=DG=BH=CH=3$​，​$CF=2$​，
∴​$HE_1=CF=2.$​
∴​$BE_1=BH+HE_1=3+2=5.$​
根据轴对称性，当​$GE_2$​与​$GE_1$​关于​$GH$​对称时，
也有​$GE_2=BF$​，此时​$BE_2=BH-HE_2=3-2=1.$​
综上，符合条件的​$BE$​的长为​$1$​或​$5.$
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