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第93页

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解：原式$=(a^2-a+1-a)[a^2-a-(1-a)]$

$=(a^2-2a+1)(a^2-1)$

$=(a-1)^2(a+1)(a-1)$

$=(a-1)^3(a+1)$

解：因为$a(a+1)-(a^2+2b)=1$，

$ $所以$a-2b=1$。

$ $所以$a^2-4ab+4b^2-2a+4b$

$=(a-2b)^2-2(a-2b)$

$=1^2-2×1$

$=1-2$

$=-1$

解：因为$x^2-y^2=20$，

$ $则$[(x-y)^2+4xy][(x+y)^2-4xy]$

$=(x+y)^2(x-y)^2$

$=[(x+y)(x-y)]^2$

$=(x^2-y^2)^2$

$=20^2$

$=400$

证明：$(1)$因为$(a-b)^2≥0$，

$ $所以$a^2-2ab+b^2≥0$，

$ $所以$a^2+b^2≥2ab$。

$ (2)①$因为$P=(a+b)^2$，$Q=4ab$，

$ $所以$P-Q=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2≥0$，

$ $所以$P≥ Q$。

$ ②$因为$m，n$是实数，且$mn=2$，

$ $所以$3\ \mathrm {m^2}+3n^2-1$

$=3(\mathrm {m^2}+n^2)-1≥3×2mn-1$

$=6×2-1$

$=12-1$

$=11$。

$ $故$3\ \mathrm {m^2}+3n^2-1$的最小值是$11$。

$(m+1)(m-5)$

$(a-4)(a+7)$

解$： (2)①-x^2+6x-16$

$=-(x^2-6x+16)$

$=-(x^2-6x+9-9+16)$

$=-(x-3)^2-7$，

$ $因为$(x-3)^2≥0$，

所以$-(x-3)^2≤0$，

$ $所以$-(x-3)^2-7≤-7$，

$ $所以当$x=3$时，$-x^2+6x-16$的值最大，最大

值为$-7$。

$ ②M=a^2+2b^2-2a+4b+2023$

$=(a^2-2a+1)+(2b^2+4b+2)+2020$

$=(a-1)^2+2(b+1)^2+2020$，

$ $因为$(a-1)^2≥0$，$(b+1)^2≥0$，

$ $所以$M≥2020$，

$ $所以$M$的最小值为$2020$。

$ (3)①a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$

$=\frac {1}{2}(a^2-2ab+b^2)+\frac {1}{2}(a^2-2ac+c^2)+\frac {1}{2}(b^2-2bc+c^2)$

$ =\frac {1}{2}(a-b)^2+\frac {1}{2}(a-c)^2+\frac {1}{2}(b-c)^2$

$ =\frac {1}{2}×(2023-2022)^2+\frac {1}{2}×(2023-2021)^2+\frac {1}{2}×(2022-2021)^2$

$ =\frac {1}{2}+\frac {1}{2}×4+\frac {1}{2}$

$=3$。

$ ②$因为$a^2+b^2=10a+8b-41$，

$ $所以$a^2-10a+25+b^2-8b+16=0$，

$ $所以$(a-5)^2+(b-4)^2=0$。

$ $因为$(a-5)^2≥0$，$(b-4)^2≥0$，

$ $所以$a=5$，$b=4$。

根据三角形三边关系，得$5-4＜c＜5+4$，

即$1＜c＜9$。